대수 예제

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \div \frac{w^{2} - 5 w - 36}{w^{2} + 11 w + 28}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{w^{2} - 9^{2}}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = w$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ 이고 합이 $b = 27$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.1.1

$27 w$ 에서 $27$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 (w) - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 3.1.2

$27$ 를 $- 1$ + $28$ 로 다시 씁니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + (- 1 + 28) w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} - 1 w + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w^{2} - 1 w) + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{w (4 w - 1) + 7 (4 w - 1)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 3.3

최대공약수 $4 w - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $w^{2} + 11 w + 28$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $28$ 이고 합은 $11$ 입니다.

$4, 7$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w^{2} - 5 w - 36}$

단계 5

AC 방법을 이용하여 $w^{2} - 5 w - 36$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 36$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 9, 4$

단계 5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

단계 6

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$w - 9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.1

$(w + 9) (w - 9)$ 에서 $w - 9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

단계 6.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

단계 6.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{w + 9}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

단계 6.2

$w + 7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$(4 w - 1) (w + 7)$ 에서 $w + 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

단계 6.2.2

$(w + 4) (w + 7)$ 에서 $w + 7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

단계 6.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

단계 6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{w + 9}{4 w - 1} \cdot \frac{w + 4}{w + 4}$

단계 6.3

$\frac{w + 9}{4 w - 1}$ 에 $\frac{w + 4}{w + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

단계 6.4

$w + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

단계 6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{w + 9}{4 w - 1}$