대수 예제

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 9 x + 18}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$36$ 을 $6^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} + 9 x + 18}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 6$ 입니다.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} + 9 x + 18}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 9 x + 18$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $18$ 이고 합은 $9$ 입니다.

$3, 6$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 4}{3^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$24 x - 4 x^{2}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1.1

$24 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.1.2

$- 4 x^{2}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) + 4 x (- x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.1.3

$4 x (6) + 4 x (- x)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.2.2

$4 x (6 - x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot - 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.3

$\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)}$ 에 $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{- ((x + 3) (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.4

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$- (x + 3) (x - 3)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

단계 5.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$

단계 5.5

$\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$ 에 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

단계 5.6

$x + 6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

단계 5.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

단계 5.7

$x - 3$ 및 $3 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.7.1

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

단계 5.7.2

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

단계 5.7.3

$- 1 (- x) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

단계 5.7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

단계 5.7.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

단계 5.7.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (x - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

단계 5.8

$x - 6$ 및 $6 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.8.1

$x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

단계 5.8.2

$- 6$ 을 $- 1 (6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 1 (6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

단계 5.8.3

$- 1 (- x) - 1 (6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

단계 5.8.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

단계 5.8.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

단계 5.8.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{(3 + x) x}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 \cdot - 1}{(3 + x) x}$

단계 6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{(3 + x) x}$

단계 7

식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{(3 + x) x}$

단계 7.2

$- \frac{1}{(3 + x) x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x (3 + x)}$