대수 예제

$\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

단계 1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2} + 1, x, x$

단계 1.2

$x^{2} + 1, x, x$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로, 네 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자, 변수, 복합 변수 부분에 대해 최소공배수를 구한 뒤 해당 값들을 모두 곱합니다.

$x^{2} + 1, x, x$ 의 최소공배수를 구하는 단계:

1. 숫자 부분 $1, 1, 1$ 의 최소공배수를 구합니다.

2. 변수 부분 $x^{1}, x^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

3. 혼합 변수 부분 $x^{2} + 1$ 의 최소공배수를 구합니다.

4. 각각의 최소공배수를 함께 곱합니다.

단계 1.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 1.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 1.5

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 1.6

$x^{1}$ 의 인수는 $x$ 자신입니다.

$x^{1} = x$

$x$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 1.7

$x^{1}, x^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$x$

단계 1.8

$x^{2} + 1$ 의 인수는 $x^{2} + 1$ 자신입니다.

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 1.9

$x^{2} + 1$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$x^{2} + 1$

단계 1.10

임의의 숫자 $LCM$ 의 최소공배수는 해당 숫자가 인수인 가장 작은 숫자입니다.

$x (x^{2} + 1)$

단계 2

$\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ 의 각 항에 $x (x^{2} + 1)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ 의 각 항에 $x (x^{2} + 1)$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1} (x (x^{2} + 1)) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.1.1

$x (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.2.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 (x^{2} + 1)$

단계 2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2$

단계 3

식을 풉니다.

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단계 3.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 3.1.1

방정식의 양변에서 $2 x^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x + x^{2} + 1 - 2 x^{2} = 2$

단계 3.1.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 x - x^{2} + 1 = 2$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$2 x - x^{2} + 1 - 2 = 0$

단계 3.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 x - x^{2} - 1 = 0$

단계 3.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 3.4.1

$2 x - x^{2} - 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$2 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + 2 x - 1 = 0$

단계 3.4.1.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) + 2 x - 1 = 0$

단계 3.4.1.3

$2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 = 0$

단계 3.4.1.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

단계 3.4.1.5

$- (x^{2}) - (- 2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

단계 3.4.1.6

$- (x^{2} - 2 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

단계 3.4.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

단계 3.4.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 3.4.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 3.4.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- {(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.5

$- {(x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$- {(x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- {(x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 3.5.2.2

${(x - 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.6

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.7

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$