대수 예제

$\frac{m - 3 n}{m^{3} - n^{3}} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = m$ 이고 $b = n$ 입니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{n^{3} - m^{3}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = n$ 이고 $b = m$ 입니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(n - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

단계 2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$n$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

단계 2.2

$- m$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{(- 1 (- n) - (m)) (n^{2} + n m + m^{2})}$

단계 2.3

$- 1 (- n) - (m)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (- n + m) (n^{2} + n m + m^{2})}$

단계 2.4

다시 정렬합니다.

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단계 2.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + m n + n^{2})} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (n^{2} + n m + m^{2})}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{m - 3 n}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$ 에 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 4.2

$(m - n) (m^{2} + n^{2} + m n) \cdot - 1$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)} - \frac{2 n}{- 1 (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(m - 3 n) \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{m \cdot - 1 - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 6.2

$m$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot m - 3 n \cdot - 1 - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 6.3

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 \cdot m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 6.4

$- 1 m$ 을 $- m$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- m + 3 n - 2 n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 6.5

$3 n$ 에서 $2 n$ 을 뺍니다.

$\frac{- m + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 7.1

$- m + n$ 및 $m - n$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1

$- m$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (m) + n}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7.1.2

$n$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (m) - 1 (- n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7.1.3

$- (m) - 1 (- n)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7.1.4

$- (m - n)$ 을 $- 1 (m - n)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7.1.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (m - n)}{- (m - n) (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7.1.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{- (m^{2} + n^{2} + m n)}$

단계 7.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{1}{m^{2} + n^{2} + m n}$