대수 예제

$x^{4} - 11 x^{2} = 80$

단계 1

방정식의 양변에서 $80$ 를 뺍니다.

$x^{4} - 11 x^{2} - 80 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 80 = 0$

단계 2.2

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$u^{2} - 11 u - 80 = 0$

단계 2.3

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 11 u - 80$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 80$ 이고 합은 $- 11$ 입니다.

$- 16, 5$

단계 2.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 16) (u + 5) = 0$

단계 2.4

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 16) (x^{2} + 5) = 0$

단계 2.5

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

단계 2.6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

단계 4

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 6

$x^{2} + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$x^{2} + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 5 = 0$

단계 6.2

$x^{2} + 5 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 5$

단계 6.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

단계 6.2.3

$\pm \sqrt{- 5}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.3.1

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

단계 6.2.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

단계 6.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \sqrt{5}$

단계 6.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 6.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i \sqrt{5}$

단계 6.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i \sqrt{5}$

단계 6.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

단계 7

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 4, 4, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$