대수 예제

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 + 0$

단계 2.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

단계 3

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ 을 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

단계 6.2.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

단계 8

$F$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$