대수 예제

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

단계 1

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.1

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

단계 1.2

방정식의 양변에서 $y^{3}$ 를 뺍니다.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

단계 1.3

방정식의 양변에 $27$ 를 더합니다.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

단계 1.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

단계 1.4.2

유리근 정리르 이용하여 $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

단계 1.4.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

단계 1.4.2.3

$3$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $3$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.4.2.3.1

$3$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

단계 1.4.2.3.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

단계 1.4.2.3.3

$- 1$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

단계 1.4.2.3.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

단계 1.4.2.3.5

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

단계 1.4.2.3.6

$- 27$ 를 $81$ 에 더합니다.

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

단계 1.4.2.3.7

$- 27$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$54 - 81 + 27$

단계 1.4.2.3.8

$54$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$- 27 + 27$

단계 1.4.2.3.9

$- 27$ 를 $27$ 에 더합니다.

$0$

단계 1.4.2.4

$3$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $y - 3$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

단계 1.4.2.5

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ 을 $y - 3$ 로 나눕니다.

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단계 1.4.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

단계 1.4.2.5.2

피제수 $- y^{3}$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

단계 1.4.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

단계 1.4.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- y^{3} + 3 y^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

단계 1.4.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

단계 1.4.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

단계 1.4.2.5.7

피제수 $6 y^{2}$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

단계 1.4.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

단계 1.4.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 y^{2} - 18 y$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

단계 1.4.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

단계 1.4.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

단계 1.4.2.5.12

피제수 $- 9 y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

단계 1.4.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

단계 1.4.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 9 y + 27$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

단계 1.4.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

단계 1.4.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- y^{2} + 6 y - 9$

단계 1.4.2.6

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

단계 1.4.3

인수분해합니다.

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단계 1.4.3.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 1.4.3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ 이고 합이 $b = 6$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 1.4.3.1.1.1

$6 y$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

단계 1.4.3.1.1.2

$6$ 를 $3$ + $3$ 로 다시 씁니다.

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

단계 1.4.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

단계 1.4.3.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.4.3.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

단계 1.4.3.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

단계 1.4.3.1.3

최대공약수 $- y + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

단계 1.4.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4

지수를 묶습니다.

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단계 1.4.4.1

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.2

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.3

$- 1 (- y) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.4

$- y + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.5

$- y + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.8

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.9

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.10

$- (y) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.11

$- (y - 3)$ 을 $- 1 (y - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.12

$- 1 (y - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.13

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.14

${(y - 3)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

단계 1.4.4.15

$y - 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

단계 1.4.4.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

단계 1.4.4.17

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

단계 1.5

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

단계 1.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

단계 1.5.2.2

${(y - 3)}^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

단계 1.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$0$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

${(y - 3)}^{3} = 0$

단계 1.6

$y - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$y - 3 = 0$

단계 1.7

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y = 3$

단계 2

$9 y^{2} - 27 y$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 = 0$

단계 3

$3 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음