대수 예제

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \div \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{2} + 7 x + 10}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 7 x + 10$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $10$ 이고 합은 $7$ 입니다.

$2, 5$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x^{2} - 8 x + 15}$

단계 5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 x + 15$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $15$ 이고 합은 $- 8$ 입니다.

$- 5, - 3$

단계 5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

단계 6

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.1

$(x + 3) (x - 3)$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 5) (x - 3)}$

단계 6.1.2

$(x - 5) (x - 3)$ 에서 $x - 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

단계 6.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{(x - 3) (x - 5)}$

단계 6.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{x - 5}$

단계 6.2

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$(x + 2) (x + 5)$ 에서 $x + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 2)}{x - 5}$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 3}{x - 5} \cdot \frac{x + 2}{x - 5}$

단계 6.3

$\frac{x + 3}{x - 5}$ 에 $\frac{x + 2}{x - 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{(x - 5) (x - 5)}$

단계 7

$x - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

단계 8

$x - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

단계 10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 3) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$