대수 예제

$\frac{6 - x}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \div \frac{x + 10}{x + 5}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{6 - x}{x^{2} - x - 30} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 30$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 30$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 6, 5$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 100}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 10^{2}}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 10$ 입니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 x^{2} - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 4

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2 x^{2} - 200$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2}) - 200} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 4.1.2

$- 200$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 x^{2} + 2 \cdot - 100} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 4.1.3

$2 x^{2} + 2 \cdot - 100$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2} - 100)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 4.2

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x^{2} - 10^{2})} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 4.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 10$ 입니다.

$\frac{6 - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$6 - x$ 및 $x - 6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.1

$6$ 을 $- 1 (- 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 6) - x}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.1.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- 6) - (x)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.1.3

$- 1 (- 6) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- 6 + x)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (x - 6)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.1.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (x - 6)}{(x - 6) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.1.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.3

$x + 10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{(x + 10) (x - 10)}{2 (x + 10) (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{x - 10}{2 (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.4

$x - 10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{x - 10}{2 (x - 10)} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x + 5} \cdot \frac{1}{2} \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.5

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.6

$x + 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$- \frac{1}{2 (x + 5)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.6.2

$2 (x + 5)$ 에서 $x + 5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{(x + 5) \cdot 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{(x + 5) \cdot 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 10}$

단계 5.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x + 10}$

단계 5.7

$\frac{- 1}{2}$ 에 $\frac{1}{x + 10}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{2 (x + 10)}$

단계 5.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2 (x + 10)}$