대수 예제

$\frac{x^{2} + 3 x - 28}{x^{2} + 4 x + 4} \div \frac{x^{2} - 49}{x^{2} - 5 x - 14}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 3 x - 28}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 3 x - 28$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 28$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$- 4, 7$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

단계 3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

단계 3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 3.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

단계 3.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x^{2} - 49}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x - 14$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 14$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 7, 2$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{x^{2} - 49}$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{x^{2} - 7^{2}}$

단계 5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 7$ 입니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{(x - 7) (x + 2)}{(x + 7) (x - 7)}$

단계 6

조합합니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x + 7) (x - 7))}$

단계 7

$x + 7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 4) (x + 7) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x + 7) (x - 7))}$

단계 7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 4) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 7)}$

단계 8

$x - 7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 4) ((x - 7) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 7)}$

단계 8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 9

$x + 2$ 및 ${(x + 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

$(x - 4) (x + 2)$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.1

${(x + 2)}^{2}$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x + 2)}$

단계 9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x + 2)}$

단계 9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x - 4}{x + 2}$