대수 예제

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

단계 2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

단계 2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

단계 2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

단계 2.1.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

단계 2.2

로그의 정의를 이용하여 $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

단계 2.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

단계 2.3.2

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$x^{2} + 4 x = 32$

단계 2.3.3

방정식의 양변에서 $32$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

단계 2.3.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 32$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 32$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 4, 8$

단계 2.3.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

단계 2.3.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

단계 2.3.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.3.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.3.7

$x + 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$x + 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 8 = 0$

단계 2.3.7.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 2.3.8

$(x - 4) (x + 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 8$

단계 3

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 4 x > 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} + 4 x = 0$

단계 3.2.2

$x^{2} + 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x + 4 x = 0$

단계 3.2.2.2

$4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

단계 3.2.2.3

$x \cdot x + x \cdot 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x + 4) = 0$

단계 3.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 4 = 0$

단계 3.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.2.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 3.2.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 3.2.6

$x (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 4$

단계 3.2.7

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

단계 3.2.8

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 3.2.8.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

단계 3.2.8.1.3

좌변 $12$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 3.2.8.2

$- 4 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.2.1

$- 4 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 3.2.8.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

단계 3.2.8.2.3

좌변 $- 4$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 3.2.8.3

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.3.1

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 3.2.8.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

단계 3.2.8.3.3

좌변 $12$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 3.2.8.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 0$ 거짓

$x > 0$ 참

$x < - 4$ 참

$- 4 < x < 0$ 거짓

$x > 0$ 참

단계 3.2.9

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 4$ 또는 $x > 0$

단계 3.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

단계 4

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

단계 5

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 5.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

단계 5.1.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.1.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.2

$- 8 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 8 < x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 5.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

단계 5.2.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.2.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.3

$- 4 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 4 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 5.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

단계 5.3.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 5.3.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.4

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 5.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

단계 5.4.3

좌변 $3.5849625$ 이 우변 $5$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 5.5

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 5.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

단계 5.5.3

좌변 $5.90689059$ 이 우변 $5$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 5.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 6

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 < x < 4$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$0 < x < 4$

구간 표기:

$(0, 4)$

단계 8