대수 예제

$X^{3} - 4 X^{2} - X + 4 \geq 0$

단계 1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$X^{3} - 4 X^{2} - X + 4 = 0$

단계 2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(X^{3} - 4 X^{2}) - X + 4 = 0$

단계 2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$X^{2} (X - 4) - (X - 4) = 0$

단계 2.2

최대공약수 $X - 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(X - 4) (X^{2} - 1) = 0$

단계 2.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(X - 4) (X^{2} - 1^{2}) = 0$

단계 2.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = X$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(X - 4) ((X + 1) (X - 1)) = 0$

단계 2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(X - 4) (X + 1) (X - 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$X - 4 = 0$

$X + 1 = 0$

$X - 1 = 0$

단계 4

$X - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$X - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$X - 4 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$X = 4$

단계 5

$X + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$X + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$X + 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$X = - 1$

단계 6

$X - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $X$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$X - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$X - 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$X = 1$

단계 7

$(X - 4) (X + 1) (X - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$X = 4, - 1, 1$

단계 8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$X < - 1$

$- 1 < X < 1$

$1 < X < 4$

$X > 4$

단계 9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$X < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$X < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$X = - 4$

단계 9.1.2

원래 부등식에서 $X$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} - 4 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 4 \geq 0$

단계 9.1.3

좌변 $- 120$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 9.2

$- 1 < X < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$- 1 < X < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$X = 0$

단계 9.2.2

원래 부등식에서 $X$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - (0) + 4 \geq 0$

단계 9.2.3

좌변 $4$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 9.3

$1 < X < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$1 < X < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$X = 2$

단계 9.3.2

원래 부등식에서 $X$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - (2) + 4 \geq 0$

단계 9.3.3

좌변 $- 6$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 9.4

$X > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$X > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$X = 6$

단계 9.4.2

원래 부등식에서 $X$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{3} - 4 {(6)}^{2} - (6) + 4 \geq 0$

단계 9.4.3

좌변 $70$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$X < - 1$ 거짓

$- 1 < X < 1$ 참

$1 < X < 4$ 거짓

$X > 4$ 참

$X < - 1$ 거짓

$- 1 < X < 1$ 참

$1 < X < 4$ 거짓

$X > 4$ 참

단계 10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 1 \leq X \leq 1$ 또는 $X \geq 4$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 1 \leq X \leq 1 or X \geq 4$

구간 표기:

$[- 1, 1] \cup [4, \infty)$

단계 12