대수 예제

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 3

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 3.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 6

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, 2, - 3$

단계 9

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 9.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

단계 11.1.3

좌변 $192$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.2

$- 3 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 3 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

단계 11.2.3

좌변 $32$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.3

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

단계 11.3.3

좌변 $- 0.0625$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

단계 11.4.3

좌변 $2.61224489$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$x > 2$ 거짓

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 2$ 참

$x > 2$ 거짓

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$0 < x < 2$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$0 < x < 2$

구간 표기:

$(0, 2)$

단계 14