대수 예제

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{2 y + 1}{y - 1}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식에 $y - 1$ 을 곱합니다.

$(y - 1) (x) = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$(y - 1) (x)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y x - 1 x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

단계 2.2.1.2

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y x - x = (\frac{2 y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y x - x = \frac{2 y + 1}{y - 1} (y - 1)$

단계 2.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y x - x = 2 y + 1$

단계 2.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$y x - x - 2 y = 1$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$y x - 2 y = 1 + x$

단계 2.4.3

$y x - 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) - 2 y = 1 + x$

단계 2.4.3.2

$- 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x) + y \cdot - 2 = 1 + x$

단계 2.4.3.3

$y (x) + y \cdot - 2$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x - 2) = 1 + x$

단계 2.4.4

$y (x - 2) = 1 + x$ 의 각 항을 $x - 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$y (x - 2) = 1 + x$ 의 각 항을 $x - 2$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

단계 2.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

단계 2.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{x - 2}$

단계 2.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{1 + x}{x - 2}$

단계 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ 가 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

단계 4.2.3

괄호를 제거합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{(\frac{2 x + 1}{x - 1}) - 2}$

단계 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$\frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{2 x + 1}{x - 1}}{\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2}$

단계 4.2.4.2

조합합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1} - 2)}$

단계 4.2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.6

소거하고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.6.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.6.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{(x - 1) (\frac{2 x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + 2 x + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.7.2

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.7.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x + 0}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.7.4

$3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + (x - 1) \cdot - 2}$

단계 4.2.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

단계 4.2.8.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

단계 4.2.8.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 \cdot x + 2}$

단계 4.2.8.4

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

단계 4.2.8.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{1 + 2}$

단계 4.2.8.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

단계 4.2.9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = \frac{3 x}{3}$

단계 4.2.9.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{x - 1}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{1 + x}{x - 2})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 2}) - 1}$

단계 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{2 \frac{1 + x}{x - 2} + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1}{\frac{1 + x}{x - 2} - 1}$

단계 4.3.3.2

조합합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2} - 1)}$

단계 4.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.5

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (\frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1

$(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2} + (x - 2) \cdot 1$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.1.1

$(x - 2) \cdot 2 \frac{1 + x}{x - 2}$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) \cdot 1}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.1.2

$(x - 2) \cdot 1$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2})) + (x - 2) (1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.1.3

$(x - 2) (2 \frac{1 + x}{x - 2}) + (x - 2) (1)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 + x}{x - 2}) + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.2

$2$ 와 $\frac{1 + x}{x - 2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + 1)}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x)}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (1 + x) + x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.5

항을 다시 정렬합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.6

인수분해된 형태로 $\frac{x + 2 (1 + x) - 2}{x - 2}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.6.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 + 2 x - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.6.3

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 2 - 2}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.6.4

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 0}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.6.6.5

$3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + (x - 2) \cdot - 1}$

단계 4.3.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

단계 4.3.7.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

단계 4.3.7.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - 1 \cdot x + 2}$

단계 4.3.7.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{1 + x - x + 2}$

단계 4.3.7.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{x - x + 3}$

단계 4.3.7.6

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{0 + 3}$

단계 4.3.7.7

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x}{x - 2})}{3}$

단계 4.3.8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

$\frac{(x - 2) \frac{3 x}{x - 2}}{3}$ 에서 $\frac{3 x}{x - 2}$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

단계 4.3.8.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.2.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

단계 4.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{3}$

단계 4.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

단계 4.3.8.3

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

단계 4.3.8.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1 + x}{x - 2}) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$ 은 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 2}$