대수 예제

$2 x^{2} + 24 x \leq - 8 x - 120$

단계 1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 부등식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

부등식 양변에 $8 x$ 를 더합니다.

$2 x^{2} + 24 x + 8 x \leq - 120$

단계 1.2

$24 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$2 x^{2} + 32 x \leq - 120$

단계 2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$2 x^{2} + 32 x = - 120$

단계 3

방정식의 양변에 $120$ 를 더합니다.

$2 x^{2} + 32 x + 120 = 0$

단계 4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.1

$2 x^{2} + 32 x + 120$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{2}) + 32 x + 120 = 0$

단계 4.1.2

$32 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{2}) + 2 (16 x) + 120 = 0$

단계 4.1.3

$120$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

단계 4.1.4

$2 x^{2} + 2 (16 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

단계 4.1.5

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (x^{2} + 16 x + 60) = 0$

단계 4.2

인수분해합니다.

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단계 4.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 16 x + 60$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $60$ 이고 합은 $16$ 입니다.

$6, 10$

단계 4.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$2 ((x + 6) (x + 10)) = 0$

단계 4.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 6 = 0$

$x + 10 = 0$

단계 6

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 7

$x + 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.1

$x + 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 10 = 0$

단계 7.2

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$x = - 10$

단계 8

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 6, - 10$

단계 9

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 10$

$- 10 < x < - 6$

$x > - 6$

단계 10

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 10.1

$x < - 10$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 10.1.1

$x < - 10$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 12$

단계 10.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 12$ 로 치환합니다.

$2 {(- 12)}^{2} + 24 (- 12) \leq - 8 \cdot - 12 - 120$

단계 10.1.3

좌변 $0$ 이 우변 $- 24$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.2

$- 10 < x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- 10 < x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 10.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$2 {(- 8)}^{2} + 24 (- 8) \leq - 8 \cdot - 8 - 120$

단계 10.2.3

좌변 $- 64$ 이 우변 $- 56$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 10.3

$x > - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$x > - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 10.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$2 {(0)}^{2} + 24 (0) \leq - 8 \cdot 0 - 120$

단계 10.3.3

좌변 $0$ 이 우변 $- 120$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 10.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 10$ 거짓

$- 10 < x < - 6$ 참

$x > - 6$ 거짓

$x < - 10$ 거짓

$- 10 < x < - 6$ 참

$x > - 6$ 거짓

단계 11

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 10 \leq x \leq - 6$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 10 \leq x \leq - 6$

구간 표기:

$[- 10, - 6]$

단계 13