대수 예제

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

단계 1

분수로 나누려면 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{2} + 4 (x) - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 2.1.2

$4$ 를 $- 1$ + $5$ 로 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{2} + (- 1 + 5) x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 x^{2} - 1 x + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(5 x^{2} - 1 x) + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (5 x - 1) + 1 (5 x - 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 2.3

최대공약수 $5 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 3

$2 x + 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x) + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 3.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 3.3

$2 x + 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

단계 4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 2 x - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 3$ 이고 합은 $2$ 입니다.

$- 1, 3$

단계 4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

단계 5

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

단계 5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 6

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.1

$(5 x - 1) (x + 1)$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 6.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 6.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

단계 6.2

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$2 (x + 3)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

단계 6.2.2

$(x - 1) (x + 3)$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

단계 6.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

단계 6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x - 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

단계 6.3

$\frac{5 x - 1}{2}$ 에 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

단계 6.4

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

단계 6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 x - 1}{2}$