대수 예제

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

단계 1

부등식의 양변에서 $\frac{8}{x + 6}$ 를 뺍니다.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

단계 2

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{7}{x + 5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{8}{x + 6}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

단계 2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x + 5) (x + 6)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.1

$\frac{7}{x + 5}$ 에 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

단계 2.3.2

$\frac{8}{x + 6}$ 에 $\frac{x + 5}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

단계 2.3.3

$(x + 6) (x + 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.5.2

$7$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.5.4

$- 8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.5.5

$7 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.5.6

$42$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.7

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.8

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.9

$- (x - 2)$ 을 $- 1 (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 6

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 7

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

단계 8

해를 하나로 합합니다.

$x = 2, - 5, - 6$

단계 9

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 9.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

단계 9.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

단계 9.2.2

$x + 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.2.1

$x + 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 5 = 0$

단계 9.2.2.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$x = - 5$

단계 9.2.3

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.2.3.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 9.2.3.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 9.2.4

$(x + 5) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 5, - 6$

단계 9.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

단계 10

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

단계 11

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 11.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.1.1

$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

단계 11.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

단계 11.1.3

좌변 $- 2.\overline{3}$ 이 우변 $- 4$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.2

$- 6 < x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.2.1

$- 6 < x < - 5$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 5.5$

단계 11.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 5.5$ 로 치환합니다.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

단계 11.2.3

좌변 $- 14$ 이 우변 $16$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.3

$- 5 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.3.1

$- 5 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 11.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

단계 11.3.3

좌변 $1.4$ 이 우변 $1.\overline{3}$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 11.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 11.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 11.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

단계 11.4.3

좌변 $0.\overline{7}$ 이 우변 $0.8$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 11.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 거짓

$- 6 < x < - 5$ 참

$- 5 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 6$ 거짓

$- 6 < x < - 5$ 참

$- 5 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 12

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 6 < x < - 5$ 또는 $x \geq 2$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

구간 표기:

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

단계 14