대수 예제

$f (x) = e^{x} - 3$

단계 1

$f (x) = e^{x} - 3$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = e^{x} - 3$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = e^{y} - 3$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$e^{y} - 3 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{y} - 3 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$e^{y} = x + 3$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

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단계 3.4.1

$y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y})$ 을 전개합니다.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

단계 3.4.3

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \ln (x + 3)$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ 가 $f (x) = e^{x} - 3$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

단계 5.2.3

$(e^{x} - 3) + 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.2.3.1

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

단계 5.2.3.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

단계 5.2.4

로그 공식을 이용해 지수에서 $x$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

단계 5.2.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

단계 5.2.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (x + 3))$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

단계 5.3.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

단계 5.3.4

$x + 3 - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.3.4.1

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

단계 5.3.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (x + 3)) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ 은 $f (x) = e^{x} - 3$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$