대수 예제

$x^{5} + 2 x^{3} + x = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.1

$x^{5} + 2 x^{3} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x = 0$

단계 1.1.2

$2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x = 0$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x = 0$

단계 1.1.4

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

단계 1.1.5

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

단계 1.1.6

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

단계 1.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

단계 1.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

단계 1.4

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

단계 1.4.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

단계 1.4.3

다항식을 다시 씁니다.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

단계 1.4.4

$a = u$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$x {(u + 1)}^{2} = 0$

단계 1.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

단계 3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 4

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

단계 4.2

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 4.2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 4.2.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 4.2.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 4.2.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 4.2.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 4.2.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 4.2.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 5

$x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, i, - i$

단계 6