대수 예제

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

단계 1.1.2

방정식의 양변에 $\frac{32}{x^{2}}$ 를 더합니다.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

단계 1.2

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

단계 1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

단계 1.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

단계 1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

단계 1.2.3.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.2.3.1.3

조합합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

단계 1.2.3.1.4

$32$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.4.1

$32 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

단계 1.2.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.4.2.1

$x^{2} \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

단계 1.2.3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

단계 1.2.3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.2.3.1.5

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

단계 2

식 $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x = 0$

단계 3

분자의 차수가 $n$ , 분모의 차수가 $m$ 인 유리 함수 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 를 사용합니다.

1. $n < m$ 이면 x축, $y = 0$ 이 수평점근선입니다.

2. $n = m$ 이면, 수평점근선은 $y = \frac{a}{b}$ 선입니다.

3. $n > m$ 이면, 수평점근선이 존재하지 않습니다(사선점근선이 존재합니다).

단계 4

$n$ 와 $m$ 값을 구합니다.

$n = 4$

$m = 2$

단계 5

$n > m$ 이므로, 수평점근선이 존재하지 않습니다.

수평점근선 없음

단계 6

다항식의 나눗셈을 이용하여 사선점근선을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

조합합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

단계 6.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

단계 6.1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

단계 6.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

단계 6.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{16}{x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.1.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.5.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ 에 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.1.5.2

$\frac{16}{x^{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

단계 6.1.5.3

$x^{2} \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.7.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + x) (1 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.7.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.1.2

$- x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.7.2.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.4

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.7.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.6

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.1.7.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.8.1

$- x^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8.2

$x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8.3

$- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8.4

$32$ 을 $- 1 (- 32)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8.5

$- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.8.6.1

$- (x^{4} - x^{2} - 32)$ 을 $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.1.8.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

단계 6.1.9

간단히 합니다.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- x^{4}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.2.2

$x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.2.3

$- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.2.4

$32$ 을 $- 1 (- 32)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.2.5

$- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.6.1

$- (x^{4} - x^{2} - 32)$ 을 $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.2.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

단계 6.3

$- (x^{4} - x^{2} - 32)$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

음의 $x^{4} - x^{2} - 32$

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

단계 6.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.3.4

괄호를 옮깁니다.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.3.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.3.6

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.3.7

$- 1$ 에 $- 32$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

단계 6.4

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

단계 6.5

피제수 $- x^{4}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

단계 6.6

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

단계 6.7

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{4} + 0 + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

단계 6.8

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

단계 6.9

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

단계 6.10

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

단계 6.11

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

단계 6.12

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

단계 6.13

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

단계 6.14

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

단계 6.15

사선점근선은 긴 나눗셈의 결과에서 다항식 부분입니다.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 7

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 0$

수평점근선 없음

사선점근선: $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

단계 8