대수 예제

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (\frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 9})$

단계 1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}}$

단계 1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 1.3

다항식을 다시 씁니다.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

단계 1.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) \frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 2

$\frac{3}{x} - \frac{x}{3}$ 에 $\frac{3 x}{{(x + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{3}{x} - \frac{x}{3}) (3 x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{x}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{3}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x \cdot 3$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.3.1

$\frac{3}{x}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.2

$\frac{x}{3}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.3.3

$x \cdot 3$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(\frac{3 \cdot 3}{3 x} - \frac{x \cdot x}{3 x}) \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{9 - x \cdot x}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{9 - (x \cdot x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{9 - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.5.3

인수분해된 형태로 $9 - x^{2}$ 를 다시 씁니다.

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단계 3.5.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{3^{2} - x^{2}}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.5.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x} \cdot 3 x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.6

지수를 묶습니다.

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단계 3.6.1

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 x}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x} x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.6.2

$\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3}{3 x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.7

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 3.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) \cdot 3 x}{3 x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{(3 + x) (3 - x) x}{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.8.2

$(3 + x) (3 - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.9

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 + x) (3 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 3.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (3 - x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x \cdot x}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.10.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{9 - 3 x + 3 x - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.2

$- 3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{9 + 0 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.10.3

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{9 - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.11

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3^{2} - x^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 3.12

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4

$3 + x$ 및 ${(x + 3)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

${(x + 3)}^{2}$ 에서 $x + 3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{(x + 3) (x + 3)}$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 - x}{x + 3}$