대수 예제

$\frac{a^{2} - 1}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{a^{2} - 1^{2}}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 2.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 2.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 2.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

단계 3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1^{2}}$

단계 3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

단계 3.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}$

단계 3.4

$a = a$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{{(a + 1)}^{2}}$

단계 4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$a + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.1

${(a + 1)}^{2}$ 에서 $a + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

단계 4.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

단계 4.2

$a^{2} - a + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$(a + 1) (a^{2} - a + 1)$ 에서 $a^{2} - a + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

단계 4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a - 1}{a + 1} \cdot \frac{1}{a + 1}$

단계 4.3

$\frac{a - 1}{a + 1}$ 에 $\frac{1}{a + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a + 1)}$

단계 5

$a + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} (a + 1)}$

단계 6

$a + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1}}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1 + 1}}$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{2}}$