대수 예제

$y^{2} = x^{2} - 3$

단계 1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 3}$

단계 2

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

단계 2.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

단계 2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

단계 3

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} - 3}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 3 \geq 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

부등식 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} \geq 3$

단계 4.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

단계 4.3

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | \geq \sqrt{3}$

단계 4.4

$| x | \geq \sqrt{3}$ 을(를) 구간으로 씁니다.

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단계 4.4.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x \geq 0$

단계 4.4.2

$x$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x \geq \sqrt{3}$

단계 4.4.3

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x < 0$

단계 4.4.4

$x$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- x \geq \sqrt{3}$

단계 4.4.5

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

단계 4.5

$x \geq \sqrt{3}$ 와 $x \geq 0$ 의 교점을 구합니다.

$x \geq \sqrt{3}$

단계 4.6

$- x \geq \sqrt{3}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- x \geq \sqrt{3}$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

단계 4.6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.6.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

단계 4.6.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

단계 4.6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.6.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

단계 4.6.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ 을 $- \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x \leq - \sqrt{3}$

단계 4.7

해의 합집합을 구합니다.

$x \leq - \sqrt{3}$ 또는 $x \geq \sqrt{3}$

단계 5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

단계 6

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

단계 7

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty), {x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

단계 8