대수 예제

$1 - \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{x^{2} - 4}$

단계 1

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{x^{2} - 4} - 1$

단계 1.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{x^{2} - 2^{2}} - 1$

단계 1.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$- \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} - 1$

단계 2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x - 2, (x + 2) (x - 2), 1$

단계 2.2

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 2.3

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 2.4

$1, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$1$

단계 2.5

$x - 2$ 의 인수는 $x - 2$ 자신입니다.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.6

$x + 2$ 의 인수는 $x + 2$ 자신입니다.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.7

$x - 2$ 의 인수는 $x - 2$ 자신입니다.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 2.8

$x - 2, x + 2, x - 2$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 인수의 최대 개수만큼 모든 인수를 곱한 결과입니다.

$(x - 2) (x + 2)$

단계 3

$- \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} - 1$ 의 각 항에 $(x - 2) (x + 2)$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 3.1

$- \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} - 1$ 의 각 항에 $(x - 2) (x + 2)$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- \frac{5}{x - 2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 5 (x + 2) = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 x - 5 \cdot 2 = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.2.3

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 5 x - 10 = - \frac{20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$(x - 2) (x + 2)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1.1

$- \frac{20}{(x + 2) (x - 2)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 5 x - 10 = \frac{- 20}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.3.1.1.2

$(x + 2) (x - 2)$ 에서 $(x - 2) (x + 2)$ 를 인수분해합니다.

$- 5 x - 10 = \frac{- 20}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.3.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$- 5 x - 10 = \frac{- 20}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2)) - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.3.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - ((x - 2) (x + 2))$

단계 3.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x (x + 2) - 2 (x + 2))$

단계 3.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2))$

단계 3.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2)$

단계 3.3.1.3

$x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.1

인수가 항 $x \cdot 2$ 과(와) $- 2 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2)$

단계 3.3.1.3.2

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2)$

단계 3.3.1.3.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x \cdot x - 2 \cdot 2)$

단계 3.3.1.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.4.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x^{2} - 2 \cdot 2)$

단계 3.3.1.4.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - (x^{2} - 4)$

단계 3.3.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - x^{2} - - 4$

단계 3.3.1.6

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 5 x - 10 = - 20 - x^{2} + 4$

단계 3.3.2

$- 20$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 5 x - 10 = - x^{2} - 16$

단계 4

식을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$- 5 x - 10 + x^{2} = - 16$

단계 4.2

방정식의 양변에 $16$ 를 더합니다.

$- 5 x - 10 + x^{2} + 16 = 0$

단계 4.3

$- 10$ 를 $16$ 에 더합니다.

$- 5 x + x^{2} + 6 = 0$

단계 4.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 5 u + u^{2} + 6 = 0$

단계 4.4.2

AC 방법을 이용하여 $- 5 u + u^{2} + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 3, - 2$

단계 4.4.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

단계 4.4.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

단계 4.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 4.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 4.7

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.7.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.7.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.8

$(x - 3) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, 2$

단계 5

$1 - \frac{5}{x - 2} = - \frac{20}{x^{2} - 4}$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$x = 3$