대수 예제

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 8} + \frac{1}{x - 2}$

단계 1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 2^{3}} + \frac{1}{x - 2}$

단계 1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

단계 1.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 3.1

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ 에 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 3.2

$(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x - 2) (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.2.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.2.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 5.3

$- 4 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x - 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{x - 2}$ 에 $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4 + x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 4 + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.2

$- 10 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 4 + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.4

$2 x^{2} - 8 x + 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.4.2

$- 8 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.4.3

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.4.4

$2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.4.5

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.5

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 8.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.5.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

단계 8.5.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 8.5.4

$a = x$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 9

${(x - 2)}^{2}$ 및 $x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1

$2 {(x - 2)}^{2}$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} + 2 x + 4}$