대수 예제

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

단계 1

부등식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

단계 2

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 10$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 5, 2$

단계 2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

단계 2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

단계 2.3

$- 2$ 와 $\frac{1 - x}{1 - x}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 5) (x + 2)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.2.1.3

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.2.2

$2 x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.6

$- 3 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.7

$- 10$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

단계 2.5.8

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.8.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 4, 3$

단계 2.5.8.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

단계 3

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 7

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 7.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

단계 9

해를 하나로 합합니다.

$x = 4, - 3, 1$

단계 10

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$1 - x = 0$

단계 10.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 10.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 10.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 10.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

단계 11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

단계 12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

단계 12.1.3

좌변 $6.\overline{285714}$ 가 우변 $2$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.2

$- 3 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 3 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

단계 12.2.3

좌변 $- 10$ 이 우변 $2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.3

$1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$1 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

단계 12.3.3

좌변 $12$ 가 우변 $2$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 12.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

단계 12.4.3

좌변 $- 1.6$ 이 우변 $2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 3$ 또는 $1 < x \leq 4$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

구간 표기:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

단계 15