대수 예제

$\frac{1}{x^{2} - x y} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} - x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot x - x y} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.1.1.2

$- x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot x + x (- 1 y)} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.1.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (x - 1 y)} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.1.2

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x (x - y)} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = y$ 입니다.

$\frac{1}{x (x - y)} - \frac{y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.3

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

$- \frac{y^{2}}{(x + y) (x - y)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.3.2

$- y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

단계 1.3.3

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{2} y}$

단계 1.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{2} y}$

단계 1.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y}$

단계 1.4

$x + y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y}$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{x - y} \cdot \frac{1}{y}$

단계 1.5

$\frac{- 1}{x - y}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{(x - y) y}$

단계 1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x (x - y)} - \frac{1}{(x - y) y}$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x (x - y)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{(x - y) y}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{(x - y) y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{(x - y) y} \cdot \frac{x}{x}$

단계 4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x - y) y$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x (x - y)}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x (x - y) y} - \frac{1}{(x - y) y} \cdot \frac{x}{x}$

단계 4.2

$\frac{1}{(x - y) y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x (x - y) y} - \frac{x}{(x - y) y x}$

단계 4.3

$x (x - y) y$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y}{x y (x - y)} - \frac{x}{(x - y) y x}$

단계 4.4

$(x - y) y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y}{x y (x - y)} - \frac{x}{x y (x - y)}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y - x}{x y (x - y)}$

단계 6

$y - x$ 및 $x - y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- y) - x}{x y (x - y)}$

단계 6.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- y) - (x)}{x y (x - y)}$

단계 6.3

$- 1 (- y) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- y + x)}{x y (x - y)}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)}$

단계 6.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)}$

단계 6.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{x y}$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x y}$