대수 예제

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

단계 2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 3

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 4

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} = 4$

단계 6

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 7

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 7.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 8

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 8.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 8.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 9

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

단계 10

해를 하나로 합합니다.

$x = - 3, 4, 2, - 2$

단계 11

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

단계 11.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

단계 11.2.2

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 11.2.2.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 11.2.2.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 11.2.3

$x^{2} - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$x^{2} - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 4 = 0$

단계 11.2.3.2

$x^{2} - 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x^{2} = 4$

단계 11.2.3.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 11.2.3.2.3

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.2.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 11.2.3.2.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 11.2.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 11.2.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 11.2.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 11.2.4

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, 2, - 2$

단계 11.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

단계 12

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

단계 13

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 13.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

단계 13.1.3

좌변 $- 0.0009375$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 13.2

$- 3 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 3 < x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2.5$

단계 13.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2.5$ 로 치환합니다.

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

단계 13.2.3

좌변 $0.00525969$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.3

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$- 2 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 13.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

단계 13.3.3

좌변 $- 0.046875$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 13.4

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 13.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

단계 13.4.3

좌변 $1.2$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.5

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 13.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

단계 13.5.3

좌변 $0.0703125$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 13.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 2$ 참

$2 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 거짓

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 2$ 참

$2 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 거짓

단계 14

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 3$ 또는 $- 2 < x < 2$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

구간 표기:

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

단계 16