대수 예제

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$

단계 1

유리근 정리르 이용하여 $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

단계 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

단계 1.3

$1.25$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1.25$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$1.25$ 을 다항식에 대입합니다.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

단계 1.3.2

$1.25$ 를 $3$ 승 합니다.

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

단계 1.3.3

$64$ 에 $1.953125$ 을 곱합니다.

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

단계 1.3.4

$1.25$ 를 $2$ 승 합니다.

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

단계 1.3.5

$- 240$ 에 $1.5625$ 을 곱합니다.

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

단계 1.3.6

$125$ 에서 $375$ 을 뺍니다.

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

단계 1.3.7

$300$ 에 $1.25$ 을 곱합니다.

$- 250 + 375 - 125$

단계 1.3.8

$- 250$ 를 $375$ 에 더합니다.

$125 - 125$

단계 1.3.9

$125$ 에서 $125$ 을 뺍니다.

$0$

단계 1.4

$1.25$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $4 x - 5$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

단계 1.5

$64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ 을 $4 x - 5$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

단계 1.5.2

피제수 $64 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

단계 1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

단계 1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $64 x^{3} - 80 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

단계 1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

단계 1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

단계 1.5.7

피제수 $- 160 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

단계 1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

단계 1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 160 x^{2} + 200 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

단계 1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

단계 1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

단계 1.5.12

피제수 $100 x$ 의 고차항을 제수 $4 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

단계 1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

단계 1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $100 x - 125$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

단계 1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

단계 1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

단계 1.6

$64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

단계 2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$16 x^{2}$ 을 ${(4 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

단계 2.2

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

단계 2.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

단계 2.4

다항식을 다시 씁니다.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

단계 2.5

$a = 4 x$ 이고 $b = 5$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

단계 3

유사한 인수끼리 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

단계 3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$