예제

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

단계 1

$z + 3$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u^{3} = 2 i$

단계 2

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절댓값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

단계 3

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

단계 4

실제값인 $a = 0$ 과 $b = 2$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

단계 5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 2$

단계 6

복소평면에서의 점의 각은 복소수 부분을 실수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

단계 7

편각이 정의되지 않고 $b$ 가 양수이므로 복소평면에서 점의 각은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$θ = \frac{π}{2}$

단계 8

$θ = \frac{π}{2}$ , $| z | = 2$ 값을 대입합니다.

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

단계 9

방정식의 우변을 삼각함수 형식으로 바꿉니다.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

단계 10

드무아브르의 정리를 이용해 $u$ 의 식을 찾습니다.

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

단계 11

삼각함수 형식의 절대값을 $r^{3}$ 가 되게 하여 $r$ 의 값을 구합니다.

$r^{3} = 2$

단계 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

단계 13

$r$ 의 근사값을 구합니다.

$r = 1.25992104$

단계 14

가능한 $θ$ 값을 구합니다.

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ , $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

단계 15

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ 식이 되도록 하는 모든 $θ$ 값 구하기.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

단계 16

$r = 0$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

단계 17

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$2 π (0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

단계 17.1.1.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

단계 17.1.2

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 θ = \frac{π}{2}$

단계 17.2

$3 θ = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

$3 θ = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

단계 17.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

단계 17.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

단계 17.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 17.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

단계 17.2.3.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{π}{6}$

단계 18

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = 2 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

단계 19

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

단계 19.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

단계 19.1.3

$i$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

단계 19.2

분배 법칙을 적용합니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 19.3

$1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1

$1.25992104$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 19.3.2

$1.25992104$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 19.4

$1.25992104$ 와 $\frac{i}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

단계 19.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.5.1

$2.18224727$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

단계 19.5.2

$1.25992104 i$ 에서 $1.25992104$ 를 인수분해합니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

단계 19.5.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

단계 19.5.4

분수를 나눕니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

단계 19.5.5

$1.25992104$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

단계 19.5.6

$i$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

단계 20

왼쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 를 $z + 3$ 으로 치환합니다.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

단계 21

$r = 1$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

단계 22

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

단계 22.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

단계 22.1.3

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

단계 22.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

단계 22.1.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

단계 22.1.6

$π$ 를 $4 π$ 에 더합니다.

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

단계 22.2

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.1

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

단계 22.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

단계 22.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

단계 22.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 22.2.3.2

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.2.3.2.1

$\frac{5 π}{2}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

단계 22.2.3.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{6}$

단계 23

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = 2 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

단계 24

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

단계 24.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

단계 24.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

단계 24.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

단계 24.1.5

$i$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

단계 24.2

분배 법칙을 적용합니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 24.3

$1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.3.1

$- 1$ 에 $1.25992104$ 을 곱합니다.

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 24.3.2

$- 1.25992104$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 24.3.3

$- 1.25992104$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

단계 24.4

$1.25992104$ 와 $\frac{i}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

단계 24.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 24.5.1

$- 2.18224727$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

단계 24.5.2

$1.25992104 i$ 에서 $1.25992104$ 를 인수분해합니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

단계 24.5.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

단계 24.5.4

분수를 나눕니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

단계 24.5.5

$1.25992104$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

단계 24.5.6

$i$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

단계 25

왼쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 를 $z + 3$ 으로 치환합니다.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

단계 26

$r = 2$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

단계 27

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

단계 27.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

단계 27.1.3

$4 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

단계 27.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

단계 27.1.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

단계 27.1.6

$π$ 를 $8 π$ 에 더합니다.

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

단계 27.2

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

단계 27.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

단계 27.2.2.1.2

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

단계 27.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 27.2.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.3.2.1

$9 π$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 27.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 27.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \frac{3 π}{2}$

단계 28

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = 2 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

단계 29

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

단계 29.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

단계 29.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

단계 29.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

단계 29.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

단계 29.1.6

$i$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

단계 29.1.7

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

단계 29.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.1

$0$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

단계 29.2.2

$- 1$ 에 $1.25992104$ 을 곱합니다.

$u_{2} = - 1.25992104 i$

단계 30

왼쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 를 $z + 3$ 으로 치환합니다.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

단계 31

$u^{3} = 2 i$ 에 대한 복소수 해입니다.

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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