예제

(1, 2, - 3)

$(1, 2, - 3)$ ,

(3, 5, - 3)

$(3, 5, - 3)$ ,

(1, - 1, 1)

$(1, - 1, 1)$ ,

(- 2, - 2, - 2)

$(- 2, - 2, - 2)$

단계 1

주어진 점

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$ 과

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$ 를 이용하여 직선

CD

$CD$ 에 평행하며

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$ 과

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$ 점을 포함하는 평면을 구합니다.

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$

단계 2

먼저, 점

C

$C$ 와

D

$D$ 를 지나는 직선의 방향벡터를 계산합니다. 점

D

$D$ 의 좌표값에서 점

C

$C$ 의 좌표값을 빼면 방향벡터를 구할 수 있습니다.

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

단계 3

x

$x$ ,

y

$y$ ,

z

$z$ 값을 대입해서 정리하여 선

CD

$CD$ 에 대한 방향벡터

V_{CD}

$V_{CD}$ 를 구합니다.

V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

단계 4

같은 방법으로

A

$A$ 점과

B

$B$ 점을 지나는 직선의 방향 벡터를 계산합니다.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

단계 5

x

$x$ ,

y

$y$ ,

z

$z$ 값을 대입해서 정리하여 선

AB

$AB$ 에 대한 방향벡터

V_{AB}

$V_{AB}$ 를 구합니다.

V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

단계 6

해가 되는 평면은 점

A

$A$ ,

B

$B$ 를 포함하는 직선을 포함하며 방향 벡터

V_{A B}

$V_{A B}$ 를 갖습니다. 이 평면이 직선

C D

$C D$ 에 평행하도록 직선

C D

$C D$ 의 방향 벡터에 직교하는 평면의 법선 벡터를 찾습니다. 행렬

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ 의 행렬식을 구해 외적

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ 를 계산하여 법선 벡터를 구합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 2 & 3 & 0 - 3 & - 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

단계 7

행렬식을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

0

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다.

0

$0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 행

1

$1$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 7.1.2

지수가 사인 차트에서

-

$-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 7.1.3

a_{11}

$a_{11}$ 의 소행렬식은 행

1

$1$ 와 열

1

$1$ 을 삭제한 행렬식입니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

단계 7.1.4

a_{11}

$a_{11}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

단계 7.1.5

a_{12}

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행

1

$1$ 와 열

2

$2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

단계 7.1.6

a_{12}

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

단계 7.1.7

a_{13}

$a_{13}$ 의 소행렬식은 행

1

$1$ 와 열

3

$3$ 을 삭제한 행렬식입니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

단계 7.1.8

a_{13}

$a_{13}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.1.9

항을 함께 더합니다.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.2

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

i (3 \cdot - 3 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

3

$3$ 에

- 3

$- 3$ 을 곱합니다.

i (- 9 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.2.2.1.2

- - 0

$- - 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.2.1

- 1

$- 1$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

i (- 9 - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.2.2.1.2.2

- 1

$- 1$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.2.2.2

$- 9$ 를

$0$ 에 더합니다.

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.3

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.3.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1.1

$2$ 에

$- 3$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.3.2.1.2

$- (- 3 \cdot 0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1.2.1

$- 3$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.3.2.1.2.2

$- 1$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.3.2.2

$- 6$ 를

$0$ 에 더합니다.

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

단계 7.4

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

단계 7.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.1

$2$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

단계 7.4.2.1.2

$- (- 3 \cdot 3)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.2.1

$- 3$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

단계 7.4.2.1.2.2

$- 1$ 에

$- 9$ 을 곱합니다.

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

단계 7.4.2.2

$- 2$ 를

$9$ 에 더합니다.

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$i$ 의 왼쪽으로

$- 9$ 이동하기

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

단계 7.5.2

$- 1$ 에

$- 6$ 을 곱합니다.

$- 9 i + 6 j + 7 k$

단계 8

점

$A$ 가 평면 위에 있으므로, 이 점에서 식

$(- 9) x + (6) y + (7) z$ 를 풉니다. 이는 평면방정식의 상수를 계산하는 데 사용됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$- 9$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

단계 8.1.2

$6$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

단계 8.1.3

$7$ 에

$- 3$ 을 곱합니다.

$- 9 + 12 - 21$

단계 8.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$- 9$ 를

$12$ 에 더합니다.

$3 - 21$

단계 8.2.2

$3$ 에서

$21$ 을 뺍니다.

$- 18$

단계 9

상수를 더하여 평면의 방정식

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ 을 구합니다.

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

단계 10

$7$ 에

$z$ 을 곱합니다.

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

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