예제

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $11$ 를 더합니다.

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$

단계 2

$4 x^{2} - 16 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$- 16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

단계 2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

단계 2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

단계 2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 8}{4}$

단계 2.3.2.2

$- 8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$- 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 2}{1}$

단계 2.3.2.2.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 2$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

단계 2.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{256}{16}$

단계 2.4.2.1.3

$256$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 16$

단계 2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 16$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$e = - 16$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ 에 대입합니다.

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

단계 3

$4 x^{2} - 16 x$ 를 $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ 로 바꿔 방정식 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ 에 대입합니다.

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 18 y = 11$

단계 4

양변에 $16$ 을 더하여 $- 16$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y = 11 + 16$

단계 5

$9 y^{2} - 18 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 18$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

단계 5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

단계 5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 9}{9}$

단계 5.3.2.2

$- 9$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

단계 5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 5.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- 18$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{324}{36}$

단계 5.4.2.1.3

$324$ 을 $36$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 9$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 9$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$e = - 9$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $9 {(y - 1)}^{2} - 9$ 에 대입합니다.

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$

단계 6

$9 y^{2} - 18 y$ 를 $9 {(y - 1)}^{2} - 9$ 로 바꿔 방정식 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ 에 대입합니다.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} - 9 = 11 + 16$

단계 7

양변에 $9$ 을 더하여 $- 9$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 11 + 16 + 9$

단계 8

$11 + 16 + 9$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$11$ 를 $16$ 에 더합니다.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 27 + 9$

단계 8.2

$27$ 를 $9$ 에 더합니다.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 36$

단계 9

각 항을 $36$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

단계 10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

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