기초 미적분 예제

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

단계 1

내적 공식을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 구합니다.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

내적을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

두 벡터의 내적은 각 성분을 곱하여 합한 값입니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

단계 2.2.1.2

$8$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

단계 2.2.2

$27$ 를 $96$ 에 더합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

단계 3

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

단계 3.2.2

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

단계 3.2.3

$9$ 를 $64$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

단계 4

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

단계 4.2.2

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

단계 4.2.3

$81$ 를 $144$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

단계 4.2.4

$225$ 을 $15^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

단계 4.2.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| b⃗ | = 15$

단계 5

공식에 값을 대입합니다.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$123$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$123$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

단계 6.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$\sqrt{73} \cdot 15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

단계 6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

단계 6.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

단계 6.2

$\sqrt{73}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

단계 6.3

$\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ 에 $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

단계 6.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ 에 $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

단계 6.4.2

$\sqrt{73}$ 를 옮깁니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

단계 6.4.3

$\sqrt{73}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

단계 6.4.4

$\sqrt{73}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

단계 6.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

단계 6.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

단계 6.4.7

${\sqrt{73}}^{2}$ 을 $73$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{73}$ 을(를) $73^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 6.4.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.4.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.4.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

단계 6.4.7.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

단계 6.5

$5$ 에 $73$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

단계 6.6

$\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 16.31385242$

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