기초 미적분 예제

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 5 & 4 & 3 2 & - 4 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & - 4 & 8 \end{array}]$

단계 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

단계 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

단계 2.1.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)$

단계 2.1.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1.1

$4$ 에

$8$ 을 곱합니다.

$a_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)$

단계 2.1.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot 3)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1.2.1

$- 4$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$a_{11} = 32 - - 12$

단계 2.1.2.2.1.2.2

$- 1$ 에

$- 12$ 을 곱합니다.

$a_{11} = 32 + 12$

단계 2.1.2.2.2

$32$ 를

$12$ 에 더합니다.

$a_{11} = 44$

단계 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 8 \end{array} |$

단계 2.2.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3$

단계 2.2.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1.1

$5$ 에

$8$ 을 곱합니다.

$a_{12} = 40 - 2 \cdot 3$

단계 2.2.2.2.1.2

$- 2$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$a_{12} = 40 - 6$

단계 2.2.2.2.2

$40$ 에서

$6$ 을 뺍니다.

$a_{12} = 34$

단계 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 2.3.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

단계 2.3.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1.1

$5$ 에

$- 4$ 을 곱합니다.

$a_{13} = - 20 - 2 \cdot 4$

단계 2.3.2.2.1.2

$- 2$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$a_{13} = - 20 - 8$

단계 2.3.2.2.2

$- 20$ 에서

$8$ 을 뺍니다.

$a_{13} = - 28$

단계 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

단계 2.4.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)$

단계 2.4.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1.1

$2$ 에

$8$ 을 곱합니다.

$a_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)$

단계 2.4.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot - 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1.2.1

$- 4$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$a_{21} = 16 - 1 \cdot 4$

단계 2.4.2.2.1.2.2

$- 1$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$a_{21} = 16 - 4$

단계 2.4.2.2.2

$16$ 에서

$4$ 을 뺍니다.

$a_{21} = 12$

단계 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 8 \end{array} |$

단계 2.5.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1$

단계 2.5.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1.1

$8$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$a_{22} = 8 - 2 \cdot - 1$

단계 2.5.2.2.1.2

$- 2$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$a_{22} = 8 + 2$

단계 2.5.2.2.2

$8$ 를

$2$ 에 더합니다.

$a_{22} = 10$

단계 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

단계 2.6.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{23} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

단계 2.6.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1.1

$- 4$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$a_{23} = - 4 - 2 \cdot 2$

단계 2.6.2.2.1.2

$- 2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$a_{23} = - 4 - 4$

단계 2.6.2.2.2

$- 4$ 에서

$4$ 을 뺍니다.

$a_{23} = - 8$

단계 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{array} |$

단계 2.7.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot - 1$

단계 2.7.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.2.2.1.1

$2$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$a_{31} = 6 - 4 \cdot - 1$

단계 2.7.2.2.1.2

$- 4$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$a_{31} = 6 + 4$

단계 2.7.2.2.2

$6$ 를

$4$ 에 더합니다.

$a_{31} = 10$

단계 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 3 \end{array} |$

단계 2.8.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{32} = 1 \cdot 3 - 5 \cdot - 1$

단계 2.8.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.1.1

$3$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$a_{32} = 3 - 5 \cdot - 1$

단계 2.8.2.2.1.2

$- 5$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$a_{32} = 3 + 5$

단계 2.8.2.2.2

$3$ 를

$5$ 에 더합니다.

$a_{32} = 8$

단계 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

단계 2.9.2

Evaluate the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a_{33} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 2$

단계 2.9.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.2.1.1

$4$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$a_{33} = 4 - 5 \cdot 2$

단계 2.9.2.2.1.2

$- 5$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$a_{33} = 4 - 10$

단계 2.9.2.2.2

$4$ 에서

$10$ 을 뺍니다.

$a_{33} = - 6$

단계 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]$

단계 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 44 & - 12 & 10 \\ - 34 & 10 & - 8 \\ - 28 & 8 & - 6 \end{array}]$

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