기초 미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

단계 1

이차함수의 최솟값은 $x = - \frac{b}{2 a}$ 에서 발생합니다. $a$ 가 양수인 경우, 함수의 최솟값은 $f (- \frac{b}{2 a})$ 입니다.

$f_{최소}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 는 $x = - \frac{b}{2 a}$ 에서 발생합니다

단계 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ 값을 구합니다.

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단계 2.1

$a$ 과 $b$ 값을 대입합니다.

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

단계 2.2

괄호를 제거합니다.

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

단계 2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{3}{4}$

단계 3

$f (- \frac{3}{4})$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{3}{4}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 3.2.1.1.1

$- \frac{3}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.1.2

$\frac{3}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.3

$\frac{3^{2}}{4^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.6.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.7

$3 (- \frac{3}{4})$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 4$

단계 3.2.1.7.2

$- 3$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 4$

단계 3.2.1.7.3

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 4$

단계 3.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 4$

단계 3.2.2

공통분모를 구합니다.

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단계 3.2.2.1

$\frac{9}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

단계 3.2.2.2

$\frac{9}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 4$

단계 3.2.2.3

$- 4$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

단계 3.2.2.4

$\frac{- 4}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

단계 3.2.2.5

$\frac{- 4}{1}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

단계 3.2.2.6

$4 \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

단계 3.2.2.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

단계 3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 8}{8}$

단계 3.2.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.4.1

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 8}{8}$

단계 3.2.4.2

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 32}{8}$

단계 3.2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.5.1

$9$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 32}{8}$

단계 3.2.5.2

$- 9$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 41}{8}$

단계 3.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{41}{8}$

단계 3.2.6

최종 답은 $- \frac{41}{8}$ 입니다.

$- \frac{41}{8}$

단계 4

$x$ , $y$ 를 사용하여 최솟값이 나타나는 지점을 찾습니다.

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

단계 5

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