기초 미적분 예제

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을

16

$16$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

단계 1.2

우변을

1

$1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은

1

$1$ 입니다.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수

a

$a$ 는 타원의 장축의 반지름을,

b

$b$ 는 타원의 단축의 반지름을,

h

$h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를,

k

$k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은

(h, k)

$(h, k)$ 형태입니다.

h

$h$ 와

k

$k$ 값을 식에 대입합니다.

(0, 0)

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인

c

$c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

a

$a$ ,

b

$b$ 값을 공식에 대입합니다.

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

4

$4$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

단계 5.3.2

2

$2$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

단계 5.3.3

- 1

$- 1$ 에

4

$4$ 을 곱합니다.

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

단계 5.3.4

16

$16$ 에서

4

$4$ 을 뺍니다.

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

단계 5.3.5

12

$12$ 을

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

12

$12$ 에서

4

$4$ 를 인수분해합니다.

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

단계 5.3.5.2

4

$4$ 을

2^{2}

$2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

단계 5.3.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은

h

$h$ 에

a

$a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

(h + a, k)

$(h + a, k)$

단계 6.2

알고 있는 값인

h

$h$ ,

a

$a$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입합니다.

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

단계 6.3

간단히 합니다.

(4, 0)

$(4, 0)$

단계 6.4

타원의 두번째 꼭지점은

h

$h$ 에서

a

$a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

(h - a, k)

$(h - a, k)$

단계 6.5

알고 있는 값인

h

$h$ ,

a

$a$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입합니다.

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

단계 6.6

간단히 합니다.

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은

h

$h$ 에

c

$c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

(h + c, k)

$(h + c, k)$

단계 7.2

알고 있는 값인

h

$h$ ,

c

$c$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입합니다.

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

단계 7.3

간단히 합니다.

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

단계 7.4

타원의 두 번째 초점은

h

$h$ 에서

c

$c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

(h - c, k)

$(h - c, k)$

단계 7.5

알고 있는 값인

h

$h$ ,

c

$c$ ,

k

$k$ 를 공식에 대입합니다.

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

단계 7.6

간단히 합니다.

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

a

$a$ ,

b

$b$ 값을 공식에 대입합니다.

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

4

$4$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

단계 8.3.1.2

2

$2$ 를

2

$2$ 승 합니다.

\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

단계 8.3.1.3

- 1

$- 1$ 에

4

$4$ 을 곱합니다.

\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

단계 8.3.1.4

16

$16$ 에서

4

$4$ 을 뺍니다.

\frac{\sqrt{12}}{4}

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

단계 8.3.1.5

12

$12$ 을

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.1

12

$12$ 에서

4

$4$ 를 인수분해합니다.

\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

단계 8.3.1.5.2

4

$4$ 을

2^{2}

$2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

단계 8.3.1.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

단계 8.3.2

$2$ 및

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$2 \sqrt{3}$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

단계 8.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.2.1

$4$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 8.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

단계 8.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심:

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

이심률:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10

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