기초 미적분 예제

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

단계 1

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

단계 2

방정식을 꼭짓점 형태로 다시 씁니다.

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단계 2.1

$7 x^{2} + 5 x - 4$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

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단계 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 7$

$b = 5$

$c = - 4$

단계 2.1.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

단계 2.1.3.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$d = \frac{5}{14}$

단계 2.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 2.1.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

단계 2.1.4.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.4.2.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

단계 2.1.4.2.1.2

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

단계 2.1.4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{28}{28}$ 을 곱합니다.

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

단계 2.1.4.2.3

$- 4$ 와 $\frac{28}{28}$ 을 묶습니다.

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

단계 2.1.4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

단계 2.1.4.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.4.2.5.1

$- 4$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

단계 2.1.4.2.5.2

$- 112$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$e = \frac{- 137}{28}$

단계 2.1.4.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e = - \frac{137}{28}$

단계 2.1.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ 에 대입합니다.

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

단계 2.2

$y$ 를 오른쪽 항과 같다고 놓습니다.

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

단계 3

표준형인 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 를 사용하여 $a$ , $h$ , $k$ 의 값을 구합니다

$a = 7$

$h = - \frac{5}{14}$

$k = - \frac{137}{28}$

단계 4

$a$ 값이 양수이므로 이 포물선은 위로 열린 형태입니다.

위로 열림

단계 5

꼭짓점 $(h, k)$ 를 구합니다.

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

단계 6

꼭짓점으로부터 초점까지의 거리인 $p$ 를 구합니다.

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단계 6.1

다음의 공식을 이용하여 꼭짓점으로부터 포물선의 초점까지의 거리를 구합니다.

$\frac{1}{4 a}$

단계 6.2

$a$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

단계 6.3

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{28}$

단계 7

초점을 찾습니다.

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단계 7.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우, 포물선의 초점은 y좌표 $k$ 에 $p$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + p)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $p$ , $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

단계 8

꼭짓점과 초점을 지나는 직선을 구하여 대칭축을 구합니다.

$x = - \frac{5}{14}$

단계 9

준선을 구합니다.

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단계 9.1

포물선이 위 또는 아래로 열린 경우 포물선의 준선은 꼭짓점의 y좌표 $k$ 에서 $p$ 를 뺀 값의 수평선입니다.

$y = k - p$

단계 9.2

알고 있는 값인 $p$ 와 $k$ 를 공식에 대입하여 식을 간단히 합니다.

$y = - \frac{69}{14}$

단계 10

포물선의 성질을 이용해 포물선을 분석하고 그래프를 그립니다.

방향: 위로 열림

꼭짓점: $(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

초점: $(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

대칭축: $x = - \frac{5}{14}$

준선: $y = - \frac{69}{14}$

단계 11

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