기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

단계 1

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 을 인수분해합니다.

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단계 1.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

단계 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

단계 1.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 1.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

단계 1.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

단계 1.1.3.3

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

단계 1.1.3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 4 + 1 - 6$

단계 1.1.3.5

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$5 + 1 - 6$

단계 1.1.3.6

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 - 6$

단계 1.1.3.7

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

단계 1.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

단계 1.1.5

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 1.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

단계 1.1.5.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

단계 1.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 1.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 1.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

단계 1.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

단계 1.1.5.7

피제수 $5 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

단계 1.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

단계 1.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $5 x^{2} - 5 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

단계 1.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

단계 1.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

단계 1.1.5.12

피제수 $6 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

단계 1.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

단계 1.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x - 6$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

단계 1.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

단계 1.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{2} + 5 x + 6$

단계 1.1.6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$2, 3$

단계 1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

단계 1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$2, 3$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

단계 3

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

공약수로 약분합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

단계 3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 4

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1

공약수로 약분합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

단계 4.2

$x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x) = x - 1$

단계 5

그래프에서 뚫린 곳을 구하려면 소거한 분모를 살펴봅니다.

$x + 2, x + 3$

단계 6

뚫린 곳의 좌표를 구하려면, 소거한 각 인수를 $0$ 로 놓고 식을 푼 후, $x - 1$ 에 다시 대입합니다.

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단계 6.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 6.3

$x - 1$ 의 $x$ 에 $- 2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

빈 곳의 $y$ 좌표를 찾으려면 $x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$- 2 - 1$

단계 6.3.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 3$

단계 6.4

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 6.5

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 6.6

$x - 1$ 의 $x$ 에 $- 3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.6.1

빈 곳의 $y$ 좌표를 찾으려면 $x$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$- 3 - 1$

단계 6.6.2

$- 3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4$

단계 6.7

그래프의 뚫린 곳은 소거된 임의의 인수가 $0$ 와 동일한 지점입니다.

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

단계 7

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