선형 대수 예제

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

단계 1

내적을 구합니다.

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단계 1.1

두 벡터의 내적은 각 성분을 곱하여 합한 값입니다.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

단계 1.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

단계 1.2.1.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

단계 1.2.1.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

단계 1.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

단계 1.2.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

단계 2

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 의 놈(Norm)을 구합니다.

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단계 2.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

단계 2.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

단계 2.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

단계 2.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

단계 2.2.5

$1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

단계 3

투사 공식을 사용하여 $a⃗$ 에 대한 $b⃗$ 투사를 구합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

단계 4

$b⃗ \cdot a⃗$ 에 $4$ 를 대입합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

단계 5

$| | a⃗ | |$ 에 $\sqrt{10}$ 를 대입합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

단계 6

$a⃗$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ 를 대입합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.1

${\sqrt{10}}^{2}$ 을 $10$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{10}$ 을(를) $10^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.4.1

공약수로 약분합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.1.5

지수값을 계산합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.2

$4$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

단계 7.3

행렬의 각 원소에 $\frac{2}{5}$ 을 곱합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

단계 7.4

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$\frac{2}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

단계 7.4.2

$\frac{2}{5}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

단계 7.4.3

$\frac{2}{5} \cdot 3$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.3.1

$\frac{2}{5}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

단계 7.4.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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