선형 대수 예제

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

단계 1

외적 공식을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 구합니다.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

외적을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

두 벡터 $a⃗$ 와 $b⃗$ 의 외적은 $ℝ^{3}$ 의 표준 단위 벡터와 주어진 벡터의 요소가 포함된 항렬식으로 작성할 수 있습니다.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

단계 2.2

주어진 값으로 행렬식을 설정합니다.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

단계 2.3

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다. $0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 행 $1$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 2.3.2

지수가 사인 차트에서 $-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 2.3.3

$a_{11}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $1$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

단계 2.3.4

$a_{11}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

단계 2.3.5

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

단계 2.3.6

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

단계 2.3.7

$a_{13}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $3$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

단계 2.3.8

$a_{13}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.3.9

항을 함께 더합니다.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.4

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.4.2.1.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.4.2.2

$- 1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.5

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2.1.2

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

단계 2.6

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

단계 2.6.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

단계 2.6.2.1.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

단계 2.6.2.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

단계 2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

단계 2.8

답을 다시 작성하세요.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

단계 3

외적의 크기를 구합니다.

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단계 3.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

단계 3.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

단계 3.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

단계 3.2.4

$49$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

단계 3.2.5

$50$ 를 $9$ 에 더합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

단계 4

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

단계 4.2.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

단계 4.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

단계 4.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

단계 4.2.5

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

단계 5

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

단계 5.2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

단계 5.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

단계 5.2.4

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

단계 5.2.5

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

단계 6

공식에 값을 대입합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

단계 7.1.2

$6$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$60$ 을 $2^{2} \cdot 15$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

단계 7.2.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

단계 7.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

단계 7.3

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ 에 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

단계 7.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ 에 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

단계 7.4.2

$\sqrt{15}$ 를 옮깁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

단계 7.4.3

$\sqrt{15}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

단계 7.4.4

$\sqrt{15}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

단계 7.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

단계 7.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

단계 7.4.7

${\sqrt{15}}^{2}$ 을 $15$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{15}$ 을(를) $15^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 7.4.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

단계 7.4.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

단계 7.4.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

단계 7.4.7.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

단계 7.5.2

$59$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

단계 7.6

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

단계 7.7

$\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 82.5824442$

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