선형 대수 예제

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

단계 1

각 벡터에 이름을 부여합니다.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

단계 2

첫 직교 벡터는 주어진 벡터 집합의 첫 벡터입니다.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

단계 3

공식을 사용하여 다른 직교 벡터를 구합니다.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

단계 4

직교 벡터 ${v⃗}_{2}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

공식을 사용하여 ${v⃗}_{2}$ 를 구합니다.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

단계 4.2

${u⃗}_{2}$ 에 $(0, 1, 1)$ 를 대입합니다.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

단계 4.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

내적을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

두 벡터의 내적은 각 성분을 곱하여 합한 값입니다.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

단계 4.3.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

단계 4.3.1.2.1.2

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

단계 4.3.1.2.1.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

단계 4.3.1.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

단계 4.3.1.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

단계 4.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 의 놈(Norm)을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

단계 4.3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

단계 4.3.2.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

단계 4.3.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

단계 4.3.2.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

단계 4.3.2.2.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

단계 4.3.3

투사 공식을 사용하여 ${v⃗}_{1}$ 에 대한 ${u⃗}_{2}$ 투사를 구합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

단계 4.3.4

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ 에 $2$ 를 대입합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

단계 4.3.5

$| | {v⃗}_{1} | |$ 에 $\sqrt{3}$ 를 대입합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

단계 4.3.6

${v⃗}_{1}$ 에 $(1, 1, 1)$ 를 대입합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1.4.1

공약수로 약분합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7.1.5

지수값을 계산합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

단계 4.3.7.2

행렬의 각 원소에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

단계 4.3.7.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 4.3.7.3.1

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

단계 4.3.7.3.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

단계 4.3.7.3.3

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

단계 4.4

투사를 대입합니다.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

단계 4.5

간단히 합니다.

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단계 4.5.1

벡터의 각 성분을 조합합니다.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

단계 4.5.2

$0$ 에서 $\frac{2}{3}$ 을 뺍니다.

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

단계 4.5.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

단계 4.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

단계 4.5.5

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

단계 4.5.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

단계 4.5.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

단계 4.5.8

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

단계 5

각 직교 벡터를 놈(Norm)으로 나누어 정규직교기저를 구합니다.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

단계 6

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ 인 단위 벡터 $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

벡터 $v⃗$ 와 동일한 방향으로 단위 벡터를 구하려면 $v⃗$ 의 놈(Norm)으로 나눕니다.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

단계 6.2

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

단계 6.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

단계 6.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

단계 6.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{2 + 1}$

단계 6.3.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{3}$

단계 6.4

벡터를 놈(Norm)으로 나눕니다.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

단계 6.5

벡터의 각 요소를 $\sqrt{3}$ 으로 나눕니다.

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

단계 7

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 인 단위 벡터 $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

벡터 $v⃗$ 와 동일한 방향으로 단위 벡터를 구하려면 $v⃗$ 의 놈(Norm)으로 나눕니다.

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

단계 7.2

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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단계 7.3.1.1

$- \frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.1.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.5

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.6

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

단계 7.3.9

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

단계 7.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

단계 7.3.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

단계 7.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

단계 7.3.13

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

단계 7.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

단계 7.3.15

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

단계 7.3.16

$6$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.16.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

단계 7.3.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.16.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

단계 7.3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

단계 7.3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

단계 7.3.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

단계 7.4

벡터를 놈(Norm)으로 나눕니다.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

단계 7.5

벡터의 각 요소를 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 으로 나눕니다.

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6.3

$\sqrt{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6.4

$\sqrt{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6.6

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

단계 7.6.7

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

단계 7.6.8

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

단계 8

주어진 값을 대입합니다.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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