선형 대수 예제

$x + 2 y = 1$ , $4 x + 5 y = 13$

단계 1

연립방정식으로부터 $A X = B$ 를 구합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

단계 2

계수행렬의 역행렬을 구합니다.

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단계 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

단계 2.2

Find the determinant.

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단계 2.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

단계 2.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 - 4 \cdot 2$

단계 2.2.2.1.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 - 8$

단계 2.2.2.2

$5$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 3$

단계 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

단계 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

단계 2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

단계 2.6

행렬의 각 원소에 $- \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.1.2

$- 5$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.3

$- \frac{1}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.3.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & 2 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.4

$- \frac{1}{3} \cdot - 4$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.4.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.7.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

단계 3

행렬 방정식의 양변의 왼쪽에 역행렬을 곱합니다.

$([\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

단계 4

어떤 행렬과 그 행렬의 역을 곱하면 항상 $1$ 이 됩니다. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

단계 5

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

단계 5.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 13 \\ \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 13 \end{array}]$

단계 5.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 7 \\ - 3 \end{array}]$

단계 6

좌변과 우변을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ - 3 \end{array}]$

단계 7

해를 구합니다.

$x = 7$

$y = - 3$

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