선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

단계 1

고유벡터를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

특성방정식

$p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 1.1.2

크기가

$2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인

$2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.1.3

알고 있는 값을

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$A$ 에

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 1.1.3.2

$I_{2}$ 에

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.1

행렬의 각 원소에

$- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.2.1

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.2.2.1

$0$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.1.4.1.2.2.2

$0$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1.2.3.1

$0$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.1.4.1.2.3.2

$0$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.1.4.1.2.4

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.1.4.3

각 성분을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

$2$ 를

$0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.1.4.3.2

$3$ 를

$0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

단계 1.1.5

행렬식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여

$(4 - λ) (3 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.2.1.1

$4$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.3

$3$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.5

지수를 더하여

$λ$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.2.2

$- 4 λ$ 에서

$3 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 1.1.5.2.1.3

$- 3$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

단계 1.1.5.2.2

$12$ 에서

$6$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

단계 1.1.5.2.3

$- 7 λ$ 와

$λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

단계 1.1.6

특성다항식이

$0$ 이 되도록 하여 고유값

$λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

단계 1.1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

AC 방법을 이용하여

$λ^{2} - 7 λ + 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이

$c$ 이고 합이

$b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은

$6$ 이고 합은

$- 7$ 입니다.

$- 6, - 1$

단계 1.1.7.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

단계 1.1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가

$0$ 이면 전체 식은

$0$ 이 됩니다.

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

단계 1.1.7.3

$λ - 6$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.3.1

$λ - 6$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 6 = 0$

단계 1.1.7.3.2

방정식의 양변에

$6$ 를 더합니다.

$λ = 6$

단계 1.1.7.4

$λ - 1$ 이

$0$ 가 되도록 하고

$λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.4.1

$λ - 1$ 를

$0$ 와 같다고 둡니다.

$λ - 1 = 0$

단계 1.1.7.4.2

방정식의 양변에

$1$ 를 더합니다.

$λ = 1$

단계 1.1.7.5

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 6, 1$

단계 1.2

고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 항등행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다. 여기에서

$N$ 은 영공간이고

$I$ 은 항등행렬입니다.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

단계 1.3

고유값

$λ = 6$ 을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

행렬의 각 원소에

$- 6$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

단계 1.3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.2.1

$- 6$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

단계 1.3.2.1.2.2

$- 6$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

단계 1.3.2.1.2.3

$- 6$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

단계 1.3.2.1.2.4

$- 6$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

단계 1.3.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

단계 1.3.2.3

각 성분을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.3.1

$4$ 에서

$6$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

단계 1.3.2.3.2

$2$ 를

$0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

단계 1.3.2.3.3

$3$ 를

$0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

단계 1.3.2.3.4

$3$ 에서

$6$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

단계 1.3.3

$λ = 6$ 일 때 영공간을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$A x = 0$ 에 대한 확대 행렬로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

단계 1.3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

$R_{1}$ 의 각 성분에

$- \frac{1}{2}$ 을 곱해서

$1, 1$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1.1

$R_{1}$ 의 각 성분에

$- \frac{1}{2}$ 을 곱해서

$1, 1$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

단계 1.3.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

단계 1.3.3.2.2

행연산

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 을 수행하여

$2, 1$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.2.1

행연산

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 을 수행하여

$2, 1$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 1.3.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 1.3.3.3

결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x - y = 0$

$0 = 0$

단계 1.3.3.4

각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

단계 1.3.3.5

해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

단계 1.3.3.6

해 집합으로 작성합니다.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 1.3.3.7

해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

단계 1.4

고유값

$λ = 1$ 을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

해당하는 원소를 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

단계 1.4.2.2

각 성분을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$4$ 에서

$1$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

단계 1.4.2.2.2

$2$ 에서

$0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

단계 1.4.2.2.3

$3$ 에서

$0$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

단계 1.4.2.2.4

$3$ 에서

$1$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

단계 1.4.3

$λ = 1$ 일 때 영공간을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$A x = 0$ 에 대한 확대 행렬로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 1.4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1

$R_{1}$ 의 각 성분에

$\frac{1}{3}$ 을 곱해서

$1, 1$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.1.1

$R_{1}$ 의 각 성분에

$\frac{1}{3}$ 을 곱해서

$1, 1$ 의 항목을

$1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 1.4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 1.4.3.2.2

행연산

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 을 수행하여

$2, 1$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.2.2.1

행연산

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 을 수행하여

$2, 1$ 의 항목을

$0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 1.4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 1.4.3.3

결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x + \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

단계 1.4.3.4

각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

단계 1.4.3.5

해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

단계 1.4.3.6

해 집합으로 작성합니다.

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 1.4.3.7

해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

단계 1.5

$A$ 의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 목록입니다.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

단계 2

$P$ 를 고유벡터의 행렬로 정의합니다.

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

단계 3

$P$ 의 역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \times 2$ 행렬의 역은

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 공식을 사용하여 구할 수 있습니다. 여기서

$a d - b c$ 은 행렬식입니다.

단계 3.2

행렬식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

단계 3.2.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$1 - - \frac{2}{3}$

단계 3.2.2.1.2

$- - \frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.2.1

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

단계 3.2.2.1.2.2

$\frac{2}{3}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$1 + \frac{2}{3}$

단계 3.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

단계 3.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 + 2}{3}$

단계 3.2.2.4

$3$ 를

$2$ 에 더합니다.

$\frac{5}{3}$

단계 3.3

행렬식이 0이 아니므로 역이 존재합니다.

단계 3.4

알려진 값을 역에 대한 공식에 대입합니다.

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

단계 3.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

단계 3.6

$\frac{3}{5}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

단계 3.7

행렬의 각 원소에

$\frac{3}{5}$ 을 곱합니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$\frac{3}{5}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

공약수로 약분합니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.3

$\frac{1}{5}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.4

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.4.1

$\frac{3}{5}$ 와

$- 1$ 을 묶습니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.4.2

$3$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.8.6

$\frac{3}{5}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

단계 4

닮음 변환을 사용하여 대각선 행렬

$D$ 을 구합니다.

$D = P^{- 1} A P$

단계 5

행렬을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

첫 번째 행렬의 열 수가 두 번째 행렬의 행 수와 같은 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있습니다. 이 경우 첫 번째 행렬은

$2 \times 2$ 이고 두 번째 행렬은

$2 \times 2$ 입니다.

단계 6.1.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

단계 6.1.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

단계 6.2

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

첫 번째 행렬의 열 수가 두 번째 행렬의 행 수와 같은 경우에만 두 행렬을 곱할 수 있습니다. 이 경우 첫 번째 행렬은

$2 \times 2$ 이고 두 번째 행렬은

$2 \times 2$ 입니다.

단계 6.2.2

첫 번째 행렬의 각 행에 두 번째 행렬의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

단계 6.2.3

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

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