선형 대수 예제

A = [\begin{matrix} 81 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ ,

x = [\begin{matrix} 3 x + 3 y 4 x - y \end{matrix}]

$x = [\begin{array}{c} 3 x + 3 y \\ 4 x - y \end{array}]$

단계 1

x \cdot x = [\begin{matrix} 81 \end{matrix}]

$x \cdot x = [\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}]$ 에 대한 확대 행렬로 작성합니다.

[\begin{matrix} 3 x + 3 y & 8 4 x - y & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 x + 3 y & 8 \\ 4 x - y & 1 \end{array}]$

단계 2

선형 연립방정식으로 작성합니다.

8 = 3 x + 3 y

$8 = 3 x + 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

변수를 좌변으로 보내고 상수는 우변으로 보냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

방정식의 양변에서

3 x

$3 x$ 를 뺍니다.

8 - 3 x = 3 y

$8 - 3 x = 3 y$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

단계 3.1.1.2

방정식의 양변에서

3 y

$3 y$ 를 뺍니다.

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

8 - 3 x - 3 y = 0

$8 - 3 x - 3 y = 0$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서

8

$8$ 를 뺍니다.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 = 4 x - y

$1 = 4 x - y$

단계 3.1.3

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

방정식의 양변에서

4 x

$4 x$ 를 뺍니다.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x = - y

$1 - 4 x = - y$

단계 3.1.3.2

방정식의 양변에

y

$y$ 를 더합니다.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

1 - 4 x + y = 0

$1 - 4 x + y = 0$

단계 3.1.4

방정식의 양변에서

1

$1$ 를 뺍니다.

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

- 3 x - 3 y = - 8

$- 3 x - 3 y = - 8$

- 4 x + y = - 1

$- 4 x + y = - 1$

단계 3.2

연립방정식을 행렬로 작성합니다.

[\begin{matrix} - 3 & - 3 & - 8 - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 3 & - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

단계 3.3

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

R_{1}

$R_{1}$ 의 각 성분에

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ 을 곱해서

1, 1

$1, 1$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

R_{1}

$R_{1}$ 의 각 성분에

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ 을 곱해서

1, 1

$1, 1$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

[\begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

단계 3.3.1.2

R_{1}

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 & 1 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 & 1 & - 1 \end{array}]$

단계 3.3.2

행연산

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ 을 수행하여

2, 1

$2, 1$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

행연산

R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ 을 수행하여

2, 1

$2, 1$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

단계 3.3.2.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 5 & \frac{29}{3} \end{array}]$

단계 3.3.3

R_{2}

$R_{2}$ 의 각 성분에

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 을 곱해서

2, 2

$2, 2$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

R_{2}

$R_{2}$ 의 각 성분에

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 을 곱해서

2, 2

$2, 2$ 의 항목을

1

$1$ 으로 만듭니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{\frac{29}{3}}{5} \end{array}]$

단계 3.3.3.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{8}{3} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

단계 3.3.4

행연산

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 을 수행하여

1, 2

$1, 2$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

행연산

R_{1} = R_{1} - R_{2}

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 을 수행하여

1, 2

$1, 2$ 의 항목을

0

$0$ 로 만듭니다.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & \frac{8}{3} - \frac{29}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

단계 3.3.4.2

R_{1}

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{11}{15} 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{11}{15} \\ 0 & 1 & \frac{29}{15} \end{array}]$

단계 3.4

결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

x = \frac{11}{15}

$x = \frac{11}{15}$

y = \frac{29}{15}

$y = \frac{29}{15}$

단계 3.5

각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]$

단계 3.6

해 집합으로 작성합니다.

{[\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

{[\begin{matrix} \frac{11}{15} \frac{29}{15} \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} \frac{11}{15} \\ \frac{29}{15} \end{array}]}$

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