선형 대수 예제
B=[1234]
단계 1
단계 1.1
특성방정식 p(λ) 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
p(λ)=행렬식(A-λI2)
단계 1.2
크기가 2인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 2×2 정방행렬입니다.
[1001]
단계 1.3
알고 있는 값을 p(λ)=행렬식(A-λI2) 에 대입합니다.
단계 1.3.1
A에 [1234]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([1234]-λI2)
단계 1.3.2
I2에 [1001]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([1234]-λ[1001])
p(λ)=행렬식([1234]-λ[1001])
단계 1.4
간단히 합니다.
단계 1.4.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.4.1.1
행렬의 각 원소에 -λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 1.4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 1.4.1.2.1
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 1.4.1.2.2
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅1])
단계 1.4.1.2.2.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 1.4.1.2.3
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00λ-λ⋅1])
단계 1.4.1.2.3.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ⋅1])
단계 1.4.1.2.4
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ])
단계 1.4.2
해당하는 원소를 더합니다.
p(λ)=행렬식[1-λ2+03+04-λ]
단계 1.4.3
각 성분을 간단히 합니다.
단계 1.4.3.1
2를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[1-λ23+04-λ]
단계 1.4.3.2
3를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[1-λ234-λ]
p(λ)=행렬식[1-λ234-λ]
p(λ)=행렬식[1-λ234-λ]
단계 1.5
행렬식을 구합니다.
단계 1.5.1
2×2 행렬의 행렬식은 |abcd|=ad-cb 공식을 이용해 계산합니다.
p(λ)=(1-λ)(4-λ)-3⋅2
단계 1.5.2
행렬식을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.1
FOIL 계산법을 이용하여 (1-λ)(4-λ) 를 전개합니다.
단계 1.5.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=1(4-λ)-λ(4-λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=1⋅4+1(-λ)-λ(4-λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=1⋅4+1(-λ)-λ⋅4-λ(-λ)-3⋅2
p(λ)=1⋅4+1(-λ)-λ⋅4-λ(-λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.2
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.1
4에 1을 곱합니다.
p(λ)=4+1(-λ)-λ⋅4-λ(-λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.2
-λ에 1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-λ⋅4-λ(-λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.3
4에 -1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ-λ(-λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
p(λ)=4-λ-4λ-1⋅-1λ⋅λ-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.5
지수를 더하여 λ에 λ을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5.1
λ를 옮깁니다.
p(λ)=4-λ-4λ-1⋅-1(λ⋅λ)-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.5.2
λ에 λ을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ-1⋅-1λ2-3⋅2
p(λ)=4-λ-4λ-1⋅-1λ2-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.6
-1에 -1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ+1λ2-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.1.7
λ2에 1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ+λ2-3⋅2
p(λ)=4-λ-4λ+λ2-3⋅2
단계 1.5.2.1.2.2
-λ에서 4λ을 뺍니다.
p(λ)=4-5λ+λ2-3⋅2
p(λ)=4-5λ+λ2-3⋅2
단계 1.5.2.1.3
-3에 2을 곱합니다.
p(λ)=4-5λ+λ2-6
p(λ)=4-5λ+λ2-6
단계 1.5.2.2
4에서 6을 뺍니다.
p(λ)=-5λ+λ2-2
단계 1.5.2.3
-5λ와 λ2을 다시 정렬합니다.
p(λ)=λ2-5λ-2
p(λ)=λ2-5λ-2
p(λ)=λ2-5λ-2
단계 1.6
특성다항식이 0 이 되도록 하여 고유값 λ 를 구합니다.
λ2-5λ-2=0
단계 1.7
λ에 대해 풉니다.
단계 1.7.1
근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.
-b±√b2-4(ac)2a
단계 1.7.2
이차함수의 근의 공식에 a=1, b=-5, c=-2을 대입하여 λ를 구합니다.
5±√(-5)2-4⋅(1⋅-2)2⋅1
단계 1.7.3
간단히 합니다.
단계 1.7.3.1
분자를 간단히 합니다.
단계 1.7.3.1.1
-5를 2승 합니다.
λ=5±√25-4⋅1⋅-22⋅1
단계 1.7.3.1.2
-4⋅1⋅-2 을 곱합니다.
단계 1.7.3.1.2.1
-4에 1을 곱합니다.
λ=5±√25-4⋅-22⋅1
단계 1.7.3.1.2.2
-4에 -2을 곱합니다.
λ=5±√25+82⋅1
λ=5±√25+82⋅1
단계 1.7.3.1.3
25를 8에 더합니다.
λ=5±√332⋅1
λ=5±√332⋅1
단계 1.7.3.2
2에 1을 곱합니다.
λ=5±√332
λ=5±√332
단계 1.7.4
두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.
λ=5+√332,5-√332
λ=5+√332,5-√332
λ=5+√332,5-√332
단계 2
고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 항등행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다. 여기에서 N은 영공간이고 I은 항등행렬입니다.
εB=N(B-λI2)
단계 3
단계 3.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
N([1234]-5+√332[1001])
단계 3.2
간단히 합니다.
단계 3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 3.2.1.1
행렬의 각 원소에 -5+√332을 곱합니다.
[1234]+[-5+√332⋅1-5+√332⋅0-5+√332⋅0-5+√332⋅1]
단계 3.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 3.2.1.2.1
-1에 1을 곱합니다.
[1234]+[-5+√332-5+√332⋅0-5+√332⋅0-5+√332⋅1]
단계 3.2.1.2.2
-5+√332⋅0 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.2.1
0에 -1을 곱합니다.
[1234]+[-5+√33205+√332-5+√332⋅0-5+√332⋅1]
단계 3.2.1.2.2.2
0에 5+√332을 곱합니다.
[1234]+[-5+√3320-5+√332⋅0-5+√332⋅1]
[1234]+[-5+√3320-5+√332⋅0-5+√332⋅1]
단계 3.2.1.2.3
-5+√332⋅0 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.3.1
0에 -1을 곱합니다.
[1234]+[-5+√332005+√332-5+√332⋅1]
단계 3.2.1.2.3.2
0에 5+√332을 곱합니다.
[1234]+[-5+√33200-5+√332⋅1]
[1234]+[-5+√33200-5+√332⋅1]
단계 3.2.1.2.4
-1에 1을 곱합니다.
[1234]+[-5+√33200-5+√332]
[1234]+[-5+√33200-5+√332]
[1234]+[-5+√33200-5+√332]
단계 3.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
[1-5+√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3
각 성분을 간단히 합니다.
단계 3.2.3.1
1을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.
[22-5+√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.2
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[2-(5+√33)22+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.3
분자를 간단히 합니다.
단계 3.2.3.3.1
분배 법칙을 적용합니다.
[2-1⋅5-√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.3.2
-1에 5을 곱합니다.
[2-5-√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.3.3
2에서 5을 뺍니다.
[-3-√3322+03+04-5+√332]
[-3-√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.4
-3을 -1(3)로 바꿔 씁니다.
[-1(3)-√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.5
-√33에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3)-(√33)22+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.6
-1(3)-(√33)에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3+√33)22+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.7
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
[-3+√3322+03+04-5+√332]
단계 3.2.3.8
2를 0에 더합니다.
[-3+√33223+04-5+√332]
단계 3.2.3.9
3를 0에 더합니다.
[-3+√332234-5+√332]
단계 3.2.3.10
공통 분모를 가지는 분수로 4을 표현하기 위해 22을 곱합니다.
[-3+√332234⋅22-5+√332]
단계 3.2.3.11
4와 22을 묶습니다.
[-3+√332234⋅22-5+√332]
단계 3.2.3.12
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[-3+√332234⋅2-(5+√33)2]
단계 3.2.3.13
분자를 간단히 합니다.
단계 3.2.3.13.1
4에 2을 곱합니다.
[-3+√332238-(5+√33)2]
단계 3.2.3.13.2
분배 법칙을 적용합니다.
[-3+√332238-1⋅5-√332]
단계 3.2.3.13.3
-1에 5을 곱합니다.
[-3+√332238-5-√332]
단계 3.2.3.13.4
8에서 5을 뺍니다.
[-3+√332233-√332]
[-3+√332233-√332]
[-3+√332233-√332]
[-3+√332233-√332]
단계 3.3
λ=5+√332일 때 영공간을 구합니다.
단계 3.3.1
Ax=0에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
[-3+√3322033-√3320]
단계 3.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
단계 3.3.2.1
R1의 각 성분에 -23+√33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
단계 3.3.2.1.1
R1의 각 성분에 -23+√33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
[-23+√33(-3+√332)-23+√33⋅2-23+√33⋅033-√3320]
단계 3.3.2.1.2
R1을 간단히 합니다.
[13-√336033-√3320]
[13-√336033-√3320]
단계 3.3.2.2
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
단계 3.3.2.2.1
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
[13-√33603-3⋅13-√332-33-√3360-3⋅0]
단계 3.3.2.2.2
R2을 간단히 합니다.
[13-√3360000]
[13-√3360000]
[13-√3360000]
단계 3.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
x+3-√336y=0
0=0
단계 3.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
[xy]=[-y2+√33y6y]
단계 3.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
[xy]=y[-12+√3361]
단계 3.3.6
해 집합으로 작성합니다.
{y[-12+√3361]|y∈R}
단계 3.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
{[-12+√3361]}
{[-12+√3361]}
{[-12+√3361]}
단계 4
단계 4.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
N([1234]-5-√332[1001])
단계 4.2
간단히 합니다.
단계 4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.2.1.1
행렬의 각 원소에 -5-√332을 곱합니다.
[1234]+[-5-√332⋅1-5-√332⋅0-5-√332⋅0-5-√332⋅1]
단계 4.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 4.2.1.2.1
-1에 1을 곱합니다.
[1234]+[-5-√332-5-√332⋅0-5-√332⋅0-5-√332⋅1]
단계 4.2.1.2.2
-5-√332⋅0 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.2.1
0에 -1을 곱합니다.
[1234]+[-5-√33205-√332-5-√332⋅0-5-√332⋅1]
단계 4.2.1.2.2.2
0에 5-√332을 곱합니다.
[1234]+[-5-√3320-5-√332⋅0-5-√332⋅1]
[1234]+[-5-√3320-5-√332⋅0-5-√332⋅1]
단계 4.2.1.2.3
-5-√332⋅0 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.3.1
0에 -1을 곱합니다.
[1234]+[-5-√332005-√332-5-√332⋅1]
단계 4.2.1.2.3.2
0에 5-√332을 곱합니다.
[1234]+[-5-√33200-5-√332⋅1]
[1234]+[-5-√33200-5-√332⋅1]
단계 4.2.1.2.4
-1에 1을 곱합니다.
[1234]+[-5-√33200-5-√332]
[1234]+[-5-√33200-5-√332]
[1234]+[-5-√33200-5-√332]
단계 4.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
[1-5-√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3
각 성분을 간단히 합니다.
단계 4.2.3.1
1을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.
[22-5-√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.2
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[2-(5-√33)22+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.3
분자를 간단히 합니다.
단계 4.2.3.3.1
분배 법칙을 적용합니다.
[2-1⋅5--√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.3.2
-1에 5을 곱합니다.
[2-5--√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.3.3
--√33 을 곱합니다.
단계 4.2.3.3.3.1
-1에 -1을 곱합니다.
[2-5+1√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.3.3.2
√33에 1을 곱합니다.
[2-5+√3322+03+04-5-√332]
[2-5+√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.3.4
2에서 5을 뺍니다.
[-3+√3322+03+04-5-√332]
[-3+√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.4
-3을 -1(3)로 바꿔 씁니다.
[-1(3)+√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.5
√33에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3)-1(-√33)22+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.6
-1(3)-1(-√33)에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3-√33)22+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.7
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
[-3-√3322+03+04-5-√332]
단계 4.2.3.8
2를 0에 더합니다.
[-3-√33223+04-5-√332]
단계 4.2.3.9
3를 0에 더합니다.
[-3-√332234-5-√332]
단계 4.2.3.10
공통 분모를 가지는 분수로 4을 표현하기 위해 22을 곱합니다.
[-3-√332234⋅22-5-√332]
단계 4.2.3.11
4와 22을 묶습니다.
[-3-√332234⋅22-5-√332]
단계 4.2.3.12
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[-3-√332234⋅2-(5-√33)2]
단계 4.2.3.13
분자를 간단히 합니다.
단계 4.2.3.13.1
4에 2을 곱합니다.
[-3-√332238-(5-√33)2]
단계 4.2.3.13.2
분배 법칙을 적용합니다.
[-3-√332238-1⋅5--√332]
단계 4.2.3.13.3
-1에 5을 곱합니다.
[-3-√332238-5--√332]
단계 4.2.3.13.4
--√33 을 곱합니다.
단계 4.2.3.13.4.1
-1에 -1을 곱합니다.
[-3-√332238-5+1√332]
단계 4.2.3.13.4.2
√33에 1을 곱합니다.
[-3-√332238-5+√332]
[-3-√332238-5+√332]
단계 4.2.3.13.5
8에서 5을 뺍니다.
[-3-√332233+√332]
[-3-√332233+√332]
[-3-√332233+√332]
[-3-√332233+√332]
단계 4.3
λ=5-√332일 때 영공간을 구합니다.
단계 4.3.1
Ax=0에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
[-3-√3322033+√3320]
단계 4.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
단계 4.3.2.1
R1의 각 성분에 -23-√33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
단계 4.3.2.1.1
R1의 각 성분에 -23-√33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
[-23-√33(-3-√332)-23-√33⋅2-23-√33⋅033+√3320]
단계 4.3.2.1.2
R1을 간단히 합니다.
[13+√336033+√3320]
[13+√336033+√3320]
단계 4.3.2.2
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
단계 4.3.2.2.1
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
[13+√33603-3⋅13+√332-33+√3360-3⋅0]
단계 4.3.2.2.2
R2을 간단히 합니다.
[13+√3360000]
[13+√3360000]
[13+√3360000]
단계 4.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
x+3+√336y=0
0=0
단계 4.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
[xy]=[-y2-√33y6y]
단계 4.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
[xy]=y[-12-√3361]
단계 4.3.6
해 집합으로 작성합니다.
{y[-12-√3361]|y∈R}
단계 4.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
{[-12-√3361]}
{[-12-√3361]}
{[-12-√3361]}
단계 5
B의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 목록입니다.
{[-12+√3361],[-12-√3361]}