선형 대수 예제

고유벡터/고유공간 구하기
B=[1234]
단계 1
고유값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.1
특성방정식 p(λ) 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
p(λ)=행렬식(A-λI2)
단계 1.2
크기가 2인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 2×2 정방행렬입니다.
[1001]
단계 1.3
알고 있는 값을 p(λ)=행렬식(A-λI2) 에 대입합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.3.1
A[1234]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([1234]-λI2)
단계 1.3.2
I2[1001]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([1234]-λ[1001])
p(λ)=행렬식([1234]-λ[1001])
단계 1.4
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.1
행렬의 각 원소에 -λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ1-λ0-λ0-λ1])
단계 1.4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.1
-11을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ-λ0-λ0-λ1])
단계 1.4.1.2.2
-λ0 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.2.1
0-1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ0λ-λ0-λ1])
단계 1.4.1.2.2.2
0λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ0-λ0-λ1])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ0-λ0-λ1])
단계 1.4.1.2.3
-λ0 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.3.1
0-1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00λ-λ1])
단계 1.4.1.2.3.2
0λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ1])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ1])
단계 1.4.1.2.4
-11을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ])
p(λ)=행렬식([1234]+[-λ00-λ])
단계 1.4.2
해당하는 원소를 더합니다.
p(λ)=행렬식[1-λ2+03+04-λ]
단계 1.4.3
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.3.1
20에 더합니다.
p(λ)=행렬식[1-λ23+04-λ]
단계 1.4.3.2
30에 더합니다.
p(λ)=행렬식[1-λ234-λ]
p(λ)=행렬식[1-λ234-λ]
p(λ)=행렬식[1-λ234-λ]
단계 1.5
행렬식을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.1
2×2 행렬의 행렬식은 |abcd|=ad-cb 공식을 이용해 계산합니다.
p(λ)=(1-λ)(4-λ)-32
단계 1.5.2
행렬식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.2.1.1
FOIL 계산법을 이용하여 (1-λ)(4-λ) 를 전개합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=1(4-λ)-λ(4-λ)-32
단계 1.5.2.1.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=14+1(-λ)-λ(4-λ)-32
단계 1.5.2.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=14+1(-λ)-λ4-λ(-λ)-32
p(λ)=14+1(-λ)-λ4-λ(-λ)-32
단계 1.5.2.1.2
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.2.1.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.2.1.2.1.1
41을 곱합니다.
p(λ)=4+1(-λ)-λ4-λ(-λ)-32
단계 1.5.2.1.2.1.2
-λ1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-λ4-λ(-λ)-32
단계 1.5.2.1.2.1.3
4-1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ-λ(-λ)-32
단계 1.5.2.1.2.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
p(λ)=4-λ-4λ-1-1λλ-32
단계 1.5.2.1.2.1.5
지수를 더하여 λλ을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.2.1.2.1.5.1
λ를 옮깁니다.
p(λ)=4-λ-4λ-1-1(λλ)-32
단계 1.5.2.1.2.1.5.2
λλ을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ-1-1λ2-32
p(λ)=4-λ-4λ-1-1λ2-32
단계 1.5.2.1.2.1.6
-1-1을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ+1λ2-32
단계 1.5.2.1.2.1.7
λ21을 곱합니다.
p(λ)=4-λ-4λ+λ2-32
p(λ)=4-λ-4λ+λ2-32
단계 1.5.2.1.2.2
-λ에서 4λ을 뺍니다.
p(λ)=4-5λ+λ2-32
p(λ)=4-5λ+λ2-32
단계 1.5.2.1.3
-32을 곱합니다.
p(λ)=4-5λ+λ2-6
p(λ)=4-5λ+λ2-6
단계 1.5.2.2
4에서 6을 뺍니다.
p(λ)=-5λ+λ2-2
단계 1.5.2.3
-5λλ2을 다시 정렬합니다.
p(λ)=λ2-5λ-2
p(λ)=λ2-5λ-2
p(λ)=λ2-5λ-2
단계 1.6
특성다항식이 0 이 되도록 하여 고유값 λ 를 구합니다.
λ2-5λ-2=0
단계 1.7
λ에 대해 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.1
근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.
-b±b2-4(ac)2a
단계 1.7.2
이차함수의 근의 공식에 a=1, b=-5, c=-2을 대입하여 λ를 구합니다.
5±(-5)2-4(1-2)21
단계 1.7.3
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.3.1
분자를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.3.1.1
-52승 합니다.
λ=5±25-41-221
단계 1.7.3.1.2
-41-2 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.3.1.2.1
-41을 곱합니다.
λ=5±25-4-221
단계 1.7.3.1.2.2
-4-2을 곱합니다.
λ=5±25+821
λ=5±25+821
단계 1.7.3.1.3
258에 더합니다.
λ=5±3321
λ=5±3321
단계 1.7.3.2
21을 곱합니다.
λ=5±332
λ=5±332
단계 1.7.4
두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.
λ=5+332,5-332
λ=5+332,5-332
λ=5+332,5-332
단계 2
고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 항등행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다. 여기에서 N은 영공간이고 I은 항등행렬입니다.
εB=N(B-λI2)
단계 3
고유값 λ=5+332을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
N([1234]-5+332[1001])
단계 3.2
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1.1
행렬의 각 원소에 -5+332을 곱합니다.
[1234]+[-5+3321-5+3320-5+3320-5+3321]
단계 3.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1.2.1
-11을 곱합니다.
[1234]+[-5+332-5+3320-5+3320-5+3321]
단계 3.2.1.2.2
-5+3320 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1.2.2.1
0-1을 곱합니다.
[1234]+[-5+33205+332-5+3320-5+3321]
단계 3.2.1.2.2.2
05+332을 곱합니다.
[1234]+[-5+3320-5+3320-5+3321]
[1234]+[-5+3320-5+3320-5+3321]
단계 3.2.1.2.3
-5+3320 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1.2.3.1
0-1을 곱합니다.
[1234]+[-5+332005+332-5+3321]
단계 3.2.1.2.3.2
05+332을 곱합니다.
[1234]+[-5+33200-5+3321]
[1234]+[-5+33200-5+3321]
단계 3.2.1.2.4
-11을 곱합니다.
[1234]+[-5+33200-5+332]
[1234]+[-5+33200-5+332]
[1234]+[-5+33200-5+332]
단계 3.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
[1-5+3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.3.1
1을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.
[22-5+3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3.2
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[2-(5+33)22+03+04-5+332]
단계 3.2.3.3
분자를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.3.3.1
분배 법칙을 적용합니다.
[2-15-3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3.3.2
-15을 곱합니다.
[2-5-3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3.3.3
2에서 5을 뺍니다.
[-3-3322+03+04-5+332]
[-3-3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3.4
-3-1(3)로 바꿔 씁니다.
[-1(3)-3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3.5
-33에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3)-(33)22+03+04-5+332]
단계 3.2.3.6
-1(3)-(33)에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3+33)22+03+04-5+332]
단계 3.2.3.7
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
[-3+3322+03+04-5+332]
단계 3.2.3.8
20에 더합니다.
[-3+33223+04-5+332]
단계 3.2.3.9
30에 더합니다.
[-3+332234-5+332]
단계 3.2.3.10
공통 분모를 가지는 분수로 4을 표현하기 위해 22을 곱합니다.
[-3+33223422-5+332]
단계 3.2.3.11
422을 묶습니다.
[-3+33223422-5+332]
단계 3.2.3.12
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[-3+3322342-(5+33)2]
단계 3.2.3.13
분자를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.3.13.1
42을 곱합니다.
[-3+332238-(5+33)2]
단계 3.2.3.13.2
분배 법칙을 적용합니다.
[-3+332238-15-332]
단계 3.2.3.13.3
-15을 곱합니다.
[-3+332238-5-332]
단계 3.2.3.13.4
8에서 5을 뺍니다.
[-3+332233-332]
[-3+332233-332]
[-3+332233-332]
[-3+332233-332]
단계 3.3
λ=5+332일 때 영공간을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.1
Ax=0에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
[-3+3322033-3320]
단계 3.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.1
R1의 각 성분에 -23+33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.1.1
R1의 각 성분에 -23+33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
[-23+33(-3+332)-23+332-23+33033-3320]
단계 3.3.2.1.2
R1을 간단히 합니다.
[13-336033-3320]
[13-336033-3320]
단계 3.3.2.2
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.2.1
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
[13-33603-313-332-33-3360-30]
단계 3.3.2.2.2
R2을 간단히 합니다.
[13-3360000]
[13-3360000]
[13-3360000]
단계 3.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
x+3-336y=0
0=0
단계 3.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
[xy]=[-y2+33y6y]
단계 3.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
[xy]=y[-12+3361]
단계 3.3.6
해 집합으로 작성합니다.
{y[-12+3361]|yR}
단계 3.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
{[-12+3361]}
{[-12+3361]}
{[-12+3361]}
단계 4
고유값 λ=5-332을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
N([1234]-5-332[1001])
단계 4.2
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1.1
행렬의 각 원소에 -5-332을 곱합니다.
[1234]+[-5-3321-5-3320-5-3320-5-3321]
단계 4.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1.2.1
-11을 곱합니다.
[1234]+[-5-332-5-3320-5-3320-5-3321]
단계 4.2.1.2.2
-5-3320 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1.2.2.1
0-1을 곱합니다.
[1234]+[-5-33205-332-5-3320-5-3321]
단계 4.2.1.2.2.2
05-332을 곱합니다.
[1234]+[-5-3320-5-3320-5-3321]
[1234]+[-5-3320-5-3320-5-3321]
단계 4.2.1.2.3
-5-3320 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1.2.3.1
0-1을 곱합니다.
[1234]+[-5-332005-332-5-3321]
단계 4.2.1.2.3.2
05-332을 곱합니다.
[1234]+[-5-33200-5-3321]
[1234]+[-5-33200-5-3321]
단계 4.2.1.2.4
-11을 곱합니다.
[1234]+[-5-33200-5-332]
[1234]+[-5-33200-5-332]
[1234]+[-5-33200-5-332]
단계 4.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
[1-5-3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.3.1
1을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.
[22-5-3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.2
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[2-(5-33)22+03+04-5-332]
단계 4.2.3.3
분자를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.3.3.1
분배 법칙을 적용합니다.
[2-15--3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.3.2
-15을 곱합니다.
[2-5--3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.3.3
--33 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.3.3.3.1
-1-1을 곱합니다.
[2-5+13322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.3.3.2
331을 곱합니다.
[2-5+3322+03+04-5-332]
[2-5+3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.3.4
2에서 5을 뺍니다.
[-3+3322+03+04-5-332]
[-3+3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.4
-3-1(3)로 바꿔 씁니다.
[-1(3)+3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.5
33에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3)-1(-33)22+03+04-5-332]
단계 4.2.3.6
-1(3)-1(-33)에서 -1를 인수분해합니다.
[-1(3-33)22+03+04-5-332]
단계 4.2.3.7
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
[-3-3322+03+04-5-332]
단계 4.2.3.8
20에 더합니다.
[-3-33223+04-5-332]
단계 4.2.3.9
30에 더합니다.
[-3-332234-5-332]
단계 4.2.3.10
공통 분모를 가지는 분수로 4을 표현하기 위해 22을 곱합니다.
[-3-33223422-5-332]
단계 4.2.3.11
422을 묶습니다.
[-3-33223422-5-332]
단계 4.2.3.12
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
[-3-3322342-(5-33)2]
단계 4.2.3.13
분자를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.3.13.1
42을 곱합니다.
[-3-332238-(5-33)2]
단계 4.2.3.13.2
분배 법칙을 적용합니다.
[-3-332238-15--332]
단계 4.2.3.13.3
-15을 곱합니다.
[-3-332238-5--332]
단계 4.2.3.13.4
--33 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.3.13.4.1
-1-1을 곱합니다.
[-3-332238-5+1332]
단계 4.2.3.13.4.2
331을 곱합니다.
[-3-332238-5+332]
[-3-332238-5+332]
단계 4.2.3.13.5
8에서 5을 뺍니다.
[-3-332233+332]
[-3-332233+332]
[-3-332233+332]
[-3-332233+332]
단계 4.3
λ=5-332일 때 영공간을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.1
Ax=0에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
[-3-3322033+3320]
단계 4.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.1
R1의 각 성분에 -23-33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
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단계 4.3.2.1.1
R1의 각 성분에 -23-33을 곱해서 1,1의 항목을 1으로 만듭니다.
[-23-33(-3-332)-23-332-23-33033+3320]
단계 4.3.2.1.2
R1을 간단히 합니다.
[13+336033+3320]
[13+336033+3320]
단계 4.3.2.2
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
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단계 4.3.2.2.1
행연산 R2=R2-3R1을 수행하여 2,1의 항목을 0로 만듭니다.
[13+33603-313+332-33+3360-30]
단계 4.3.2.2.2
R2을 간단히 합니다.
[13+3360000]
[13+3360000]
[13+3360000]
단계 4.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
x+3+336y=0
0=0
단계 4.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
[xy]=[-y2-33y6y]
단계 4.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
[xy]=y[-12-3361]
단계 4.3.6
해 집합으로 작성합니다.
{y[-12-3361]|yR}
단계 4.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
{[-12-3361]}
{[-12-3361]}
{[-12-3361]}
단계 5
B의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 목록입니다.
{[-12+3361],[-12-3361]}
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 [x2  12  π  xdx ] 
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