선형 대수 예제

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식

p (λ)

$p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 1.2

크기가

2

$2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인

2 \times 2

$2 \times 2$ 정방행렬입니다.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을

p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

A

$A$ 에

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$ 를 대입합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 1.3.2

I_{2}

$I_{2}$ 에

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에

- λ

$- λ$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

0

$0$ 에

λ

$λ$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

0

$0$ 에

λ

$λ$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 행렬식 ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

p (λ) = 행렬식 [\begin{matrix} 1 - λ & 3 + 0 12 + 0 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

3

$3$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

p (λ) = 행렬식 [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 + 0 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

12

$12$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

p (λ) = 행렬식 [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = 행렬식 [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = 행렬식 [\begin{matrix} 1 - λ & 3 12 & 2 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여

(1 - λ) (2 - λ)

$(1 - λ) (2 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.1

2

$2$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.2

- λ

$- λ$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.3

2

$2$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.5

지수를 더하여

λ

$λ$ 에

λ

$λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1.5.1

λ

$λ$ 를 옮깁니다.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.5.2

λ

$λ$ 에

λ

$λ$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.6

- 1

$- 1$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.1.7

λ^{2}

$λ^{2}$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.2.2

- λ

$- λ$ 에서

2 λ

$2 λ$ 을 뺍니다.

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

단계 1.5.2.1.3

- 12

$- 12$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

단계 1.5.2.2

2

$2$ 에서

36

$36$ 을 뺍니다.

p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34$

단계 1.5.2.3

- 3 λ

$- 3 λ$ 와

λ^{2}

$λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

단계 1.6

특성다항식이

0

$0$ 이 되도록 하여 고유값

λ

$λ$ 를 구합니다.

λ^{2} - 3 λ - 34 = 0

$λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$

단계 1.7

λ

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.7.2

이차함수의 근의 공식에

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 3

$b = - 3$ ,

c = - 34

$c = - 34$ 을 대입하여

λ

$λ$ 를 구합니다.

\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1

- 3

$- 3$ 를

2

$2$ 승 합니다.

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.2

- 4 \cdot 1 \cdot - 34

$- 4 \cdot 1 \cdot - 34$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.2.1

- 4

$- 4$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.2.2

- 4

$- 4$ 에

- 34

$- 34$ 을 곱합니다.

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.1.3

9

$9$ 를

136

$136$ 에 더합니다.

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.2

2

$2$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

단계 1.7.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

N ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에

- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.2.1

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2.2

0

$0$ 에

\frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0

$- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.3.1

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3.2

0

$0$ 에

\frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2 - (3 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.3.2

- 1

$- 1$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2 - 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.3.3

2

$2$ 에서

3

$3$ 을 뺍니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.4

- 1

$- 1$ 을

- 1 (1)

$- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1 (1) - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.5

- \sqrt{145}

$- \sqrt{145}$ 에서

- 1

$- 1$ 를 인수분해합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{145})}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.6

- 1 (1) - (\sqrt{145})

$- 1 (1) - (\sqrt{145})$ 에서

- 1

$- 1$ 를 인수분해합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{- 1 (1 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.8

3

$3$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.9

12

$12$ 를

0

$0$ 에 더합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.10

공통 분모를 가지는 분수로

2

$2$ 을 표현하기 위해

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.11

2

$2$ 와

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.13.1

2

$2$ 에

2

$2$ 을 곱합니다.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{4 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.13.2

분배 법칙을 적용합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.13.3

- 1

$- 1$ 에

3

$3$ 을 곱합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{4 - 3 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.2.3.13.4

4

$4$ 에서

3

$3$ 을 뺍니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when

λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}

$- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}

$- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 0 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

R_{1}

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

R_{2}

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x + \frac{1 - \sqrt{145}}{24} y = 0

$x + \frac{1 - \sqrt{145}}{24} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - \frac{y}{24} + \frac{\sqrt{145} y}{24} y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} + \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = y [\begin{matrix} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

{y [\begin{matrix} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} 1 \end{matrix}] ∣ ∣ ∣ ∣ y \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

{[\begin{matrix} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{matrix} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} 1 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

N ([\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

행렬의 각 원소에

- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2

- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.2.1

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.2.2

0

$0$ 에

\frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3

- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0

$- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.3.1

0

$0$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.3.2

0

$0$ 에

\frac{3 - \sqrt{145}}{2}

$\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2.4

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 3 12 & 2 \end{matrix}] + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.3.2

$- 1$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.3.3

$- - \sqrt{145}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.3.3.1

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.3.3.2

$\sqrt{145}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.3.4

$2$ 에서

$3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$- 1$ 을

$- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.5

$\sqrt{145}$ 에서

$- 1$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.6

$- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})$ 에서

$- 1$ 를 인수분해합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.8

$3$ 를

$0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.9

$12$ 를

$0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.10

공통 분모를 가지는 분수로

$2$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.11

$2$ 와

$\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.13.1

$2$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.13.3

$- 1$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.13.4

$- - \sqrt{145}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.13.4.1

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.13.4.2

$\sqrt{145}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.2.3.13.5

$4$ 에서

$3$ 을 뺍니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} (- \frac{1 - \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 + \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} - \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

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