선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

단계 1

특성방정식

$p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$

단계 2

크기가

$2$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인

$2 \times 2$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

단계 3

알고 있는 값을

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{2})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$A$ 에

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

단계 3.2

$I_{2}$ 에

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

행렬의 각 원소에

$- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$0$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.2.2

$0$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$0$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.3.2

$0$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 4.1.2.4

$- 1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

단계 4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

단계 4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$2$ 를

$0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

단계 4.3.2

$3$ 를

$0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

단계 5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여

$(1 - λ) (5 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.1

$5$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.2

$- λ$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.3

$5$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.5

지수를 더하여

$λ$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에

$λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.6

$- 1$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.2.2

$- λ$ 에서

$5 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

단계 5.2.1.3

$- 3$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

단계 5.2.2

$5$ 에서

$6$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

단계 5.2.3

$- 6 λ$ 와

$λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

단계 6

특성다항식이

$0$ 이 되도록 하여 고유값

$λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 6 λ - 1 = 0$

단계 7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에

$a = 1$ ,

$b = - 6$ ,

$c = - 1$ 을 대입하여

$λ$ 를 구합니다.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$- 6$ 를

$2$ 승 합니다.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

$- 4$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.2.2

$- 4$ 에

$- 1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.3

$36$ 를

$4$ 에 더합니다.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4

$40$ 을

$2^{2} \cdot 10$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.4.1

$40$ 에서

$4$ 를 인수분해합니다.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.4.2

$4$ 을

$2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

단계 7.3.2

$2$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

단계 7.3.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

단계 7.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

소수 형태:

$λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots$

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