예제

고유벡터/고유공간 구하기
단계 1
고유값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.1
특성방정식 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
단계 1.2
크기가 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 정방행렬입니다.
단계 1.3
알고 있는 값을 에 대입합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.3.1
를 대입합니다.
단계 1.3.2
를 대입합니다.
단계 1.4
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.2.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.3.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.4
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.4.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.4.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.5
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.6
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.6.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.6.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.7
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.7.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.7.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.8
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1.2.8.1
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.8.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.9
을 곱합니다.
단계 1.4.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 1.4.3
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.3.1
에 더합니다.
단계 1.4.3.2
에 더합니다.
단계 1.4.3.3
에 더합니다.
단계 1.4.3.4
에 더합니다.
단계 1.4.3.5
에 더합니다.
단계 1.4.3.6
에 더합니다.
단계 1.4.3.7
에서 을 뺍니다.
단계 1.5
행렬식을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.1
성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다. 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 열 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.1.1
해당 사인 차트를 고려합니다.
단계 1.5.1.2
지수가 사인 차트에서 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.
단계 1.5.1.3
의 소행렬식은 행 와 열 을 삭제한 행렬식입니다.
단계 1.5.1.4
성분에 여인자를 곱합니다.
단계 1.5.1.5
의 소행렬식은 행 와 열 을 삭제한 행렬식입니다.
단계 1.5.1.6
성분에 여인자를 곱합니다.
단계 1.5.1.7
의 소행렬식은 행 와 열 을 삭제한 행렬식입니다.
단계 1.5.1.8
성분에 여인자를 곱합니다.
단계 1.5.1.9
항을 함께 더합니다.
단계 1.5.2
을 곱합니다.
단계 1.5.3
을 곱합니다.
단계 1.5.4
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.1
행렬의 행렬식은 공식을 이용해 계산합니다.
단계 1.5.4.2
행렬식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.2.1.1
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.4.2.1.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.4.2.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.4.2.1.2
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.2.1.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.2.1.2.1.1
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.2
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.3
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.5
지수를 더하여 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.4.2.1.2.1.5.1
를 옮깁니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.5.2
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.6
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.1.2.1.7
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.1.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.5.4.2.1.3
을 곱합니다.
단계 1.5.4.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.5.4.2.3
을 다시 정렬합니다.
단계 1.5.5
행렬식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.1
의 반대 항을 묶습니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.1.1
에 더합니다.
단계 1.5.5.1.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.5.5.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.5.3
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.3.1
지수를 더하여 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.3.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.5.5.3.1.2
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.3.1.2.1
승 합니다.
단계 1.5.5.3.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.5.5.3.1.3
에 더합니다.
단계 1.5.5.3.2
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.5.5.3.3
을 곱합니다.
단계 1.5.5.4
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.4.1
지수를 더하여 을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.5.4.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.5.5.4.1.2
을 곱합니다.
단계 1.5.5.4.2
을 곱합니다.
단계 1.6
특성다항식이 이 되도록 하여 고유값 를 구합니다.
단계 1.7
에 대해 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.1
방정식의 좌변을 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.1.1
에서 를 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.1.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.7.1.1.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.7.1.1.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.7.1.1.4
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.7.1.1.5
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.7.1.2
인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.1.2.1
AC 방법을 이용하여 를 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.1.2.1.1
형태를 이용합니다. 곱이 이고 합이 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 이고 합은 입니다.
단계 1.7.1.2.1.2
이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.
단계 1.7.1.2.2
불필요한 괄호를 제거합니다.
단계 1.7.2
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 1.7.3
와 같다고 둡니다.
단계 1.7.4
가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.4.1
와 같다고 둡니다.
단계 1.7.4.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 1.7.5
가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.7.5.1
와 같다고 둡니다.
단계 1.7.5.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 1.7.6
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 2
고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 항등행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다. 여기에서 은 영공간이고 은 항등행렬입니다.
단계 3
고유값 을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 3.2
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.1.2.1
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.2
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.3
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.4
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.5
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.6
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.7
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.8
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.9
을 곱합니다.
단계 3.2.2
임의의 행렬에 영행렬을 더하면 자기 자신이 나옵니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.2.1
해당하는 원소를 더합니다.
단계 3.2.2.2
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.2.2.2.1
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.2
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.3
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.4
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.5
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.6
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.7
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.8
에 더합니다.
단계 3.2.2.2.9
에 더합니다.
단계 3.3
일 때 영공간을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.1
에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
단계 3.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.1.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
단계 3.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.2
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.2.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 3.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.3
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.3.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 3.3.2.3.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.4
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.4.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
단계 3.3.2.4.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.5
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.5.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 3.3.2.5.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.6
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 3.3.2.6.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 3.3.2.6.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
단계 3.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
단계 3.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
단계 3.3.6
해 집합으로 작성합니다.
단계 3.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
단계 4
고유값 을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 4.2
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.1.2.1
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.2
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.3
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.4
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.5
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.6
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.7
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.8
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.9
을 곱합니다.
단계 4.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 4.2.3
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.2.3.1
에서 을 뺍니다.
단계 4.2.3.2
에 더합니다.
단계 4.2.3.3
에 더합니다.
단계 4.2.3.4
에 더합니다.
단계 4.2.3.5
에서 을 뺍니다.
단계 4.2.3.6
에 더합니다.
단계 4.2.3.7
에 더합니다.
단계 4.2.3.8
에 더합니다.
단계 4.2.3.9
에서 을 뺍니다.
단계 4.3
일 때 영공간을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.1
에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
단계 4.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.1.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
단계 4.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.2.2
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.2.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 4.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.2.3
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.3.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 4.3.2.3.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.2.4
을 대입해서 에서 0이 아닌 항목을 넣습니다.
단계 4.3.2.5
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.5.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
단계 4.3.2.5.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.2.6
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.3.2.6.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 4.3.2.6.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
단계 4.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
단계 4.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
단계 4.3.6
해 집합으로 작성합니다.
단계 4.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
단계 5
고유값 을 사용하여 고유 벡터를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 5.2
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 5.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.1.2.1
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.2
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.3
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.4
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.5
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.6
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.7
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.8
을 곱합니다.
단계 5.2.1.2.9
을 곱합니다.
단계 5.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 5.2.3
각 성분을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.3.1
에 더합니다.
단계 5.2.3.2
에 더합니다.
단계 5.2.3.3
에 더합니다.
단계 5.2.3.4
에 더합니다.
단계 5.2.3.5
에 더합니다.
단계 5.2.3.6
에 더합니다.
단계 5.2.3.7
에 더합니다.
단계 5.2.3.8
에 더합니다.
단계 5.2.3.9
에 더합니다.
단계 5.3
일 때 영공간을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.1
에 대한 확대 행렬로 작성합니다.
단계 5.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.1.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
단계 5.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 5.3.2.2
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.2.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 5.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 5.3.2.3
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.3.1
행연산 을 수행하여 의 항목을 로 만듭니다.
단계 5.3.2.3.2
을 간단히 합니다.
단계 5.3.2.4
을 대입해서 에서 0이 아닌 항목을 넣습니다.
단계 5.3.2.5
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.5.1
의 각 성분에 을 곱해서 의 항목을 으로 만듭니다.
단계 5.3.2.5.2
을 간단히 합니다.
단계 5.3.3
결과 행렬을 사용하여 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
단계 5.3.4
각 행의 자유 변수로 표현한 해를 구하여 해 벡터를 작성합니다.
단계 5.3.5
해를 벡터의 선형 결합으로 작성합니다.
단계 5.3.6
해 집합으로 작성합니다.
단계 5.3.7
해는 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
단계 6
의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 목록입니다.
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