유한 수학 예제

\begin{matrix} Class & Frequency 90 - 99 & 4 80 - 89 & 6 70 - 79 & 4 60 - 69 & 3 50 - 59 & 2 40 - 49 & 1 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 90 - 99 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 70 - 79 & 4 \\ 60 - 69 & 3 \\ 50 - 59 & 2 \\ 40 - 49 & 1 \end{array}$

단계 1

관련 도수에 대해 가장 일반적인 방법인 오름차순으로(낮은 수에서 높은 수로) 계급을 재정렬합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) 40 - 49 & 1 50 - 59 & 2 60 - 69 & 3 70 - 79 & 4 80 - 89 & 6 90 - 99 & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

단계 2

각 그룹의 중앙점

M

$M$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 계급의 하한은 해당 계급에서 가장 작은 값입니다. 반면, 각 계급의 상한은 해당 계급에서 가장 큰 값입니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits 40 - 49 & 1 & 40 & 49 50 - 59 & 2 & 50 & 59 60 - 69 & 3 & 60 & 69 70 - 79 & 4 & 70 & 79 80 - 89 & 6 & 80 & 89 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{array}$

단계 2.2

계급의 중심점은 계급의 하한과 상한의 합을

2

$2$ 로 나눈 값입니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{array}$

단계 2.3

모든 중앙점 열을 간단히 합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{array}$

단계 2.4

중점 열을 원래 표에 더합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

단계 3

각 그룹의 중점

M^{2}

$M^{2}$ 의 제곱을 계산합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{array}$

단계 4

M^{2}

$M^{2}$ 열을 간단히 합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{array}$

단계 5

각 중앙점을 제곱한 값에 해당 도수

f

$f$ 를 곱합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{array}$

단계 6

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ 열을 간단히 합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{array}$

단계 7

모든 도수의 합을 구합니다. 여기에서 모든 도수의 합은

n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20

$n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20$ 입니다.

\sum f = n = 20

$\sum_{}^{} f = n = 20$

단계 8

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ 열의 합을 구합니다. 여기에서는

1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165

$1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165$ 입니다.

\sum f \cdot M^{2} = 121165

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 121165$

단계 9

평균

μ

$μ$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

Reorder the classes with their related frequencies (ƒ) in an ascending order (lowest number to highest), which is the most common.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) 40 - 49 & 1 50 - 59 & 2 60 - 69 & 3 70 - 79 & 4 80 - 89 & 6 90 - 99 & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

단계 9.2

각 계급의 중앙점

M

$M$ 을 구합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 40 - 49 & 1 & 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

단계 9.3

계급 중앙값에 각 계급의 도수를 곱합니다.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{array}$

단계 9.4

$f \cdot M$ 열을 간단히 합니다.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 109 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 193.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 298 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 507 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 378 \end{array}$

단계 9.5

$f \cdot M$ 열의 값을 더합니다.

$44.5 + 109 + 193.5 + 298 + 507 + 378 = 1530$

단계 9.6

상대도수 열의 값을 더합니다.

$n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 = 20$

단계 9.7

평균(mu)은

$f \cdot M$ 의 합을 도수의 합인

$n$ 으로 나눈 값입니다.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

단계 9.8

평균은 중간점과 도수의 곱을 합하여 이를 도수의 합으로 나눈 값입니다.

$μ = \frac{1530}{20}$

단계 9.9

$μ = \frac{1530}{20}$ 의 우변을 간단히 합니다.

$76.5$

단계 10

표준편차 방정식은

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 입니다.

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

단계 11

계산값을

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 에 대입합니다.

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$

단계 12

우변

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$ 을 간단히 하여 분산

$S^{2} = 216.84210526$ 을 구합니다.

$216.84210526$

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