예제

$3 x - y = - 4$ , $x - 2 y = - 3$

단계 1

점 $(p, q, r)$ 을 지나고 평면 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 에 수직인 직선과 평면 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 가 만나는 점을 구하려면:

1. 평면 $P_{1}$ 과 평면 $P_{2}$ 의 법선벡터가 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ , $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 일 때 내적이 0이 되는지 확인합니다.

2. $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 이 되도록 매개변수 방정식 세트를 만듭니다.

3. $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 이 되도록 평면 $P_{2}$ 방정식에 이 방정식들을 대입하고 $t$ 에 대해 풉니다.

4. $t$ 값을 사용하여 매개변수 방정식 $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 를 $t$ 에 대해 풀고 교점 $(x, y, z)$ 를 구합니다.

단계 2

각 평면의 법선벡터를 구하고 두 벡터의 내적을 계산하여 벡터가 이루는 각이 직각인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$P_{1}$ 은 $3 x - y = - 4$ 입니다. $a x + b y + c z = d$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 를 구합니다.

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

단계 2.2

$P_{2}$ 은 $x - 2 y = - 3$ 입니다. $e x + f y + g z = h$ 형태의 평면 방정식으로부터 법선벡터 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 를 구합니다.

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

단계 2.3

법선 벡터의 $x$ , $y$ , $z$ 값의 곱을 더하여 $n_{1}$ 와 $n_{2}$ 의 내적을 계산합니다.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

단계 2.4

내적을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

괄호를 제거합니다.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

단계 2.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

단계 2.4.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

단계 2.4.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 + 2 + 0$

단계 2.4.3

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$5 + 0$

단계 2.4.3.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 3

$a$ , $b$ , $c$ 값에 대한 법선벡터 $5$ 의 값과 원점 $(0, 0, 0)$ 과 점 $(p, q, r)$ 을 이용해 매개변수 방정식 $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , $z = r + c t$ 을 세웁니다. 이 매개변수 방정식은 $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ 에 수직인 원점을 지나는 선을 나타냅니다.

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

단계 4

$P_{2}$ $x - 2 y = - 3$ 식에 수식 $x$ $y$ $z$ 을 대입합니다.

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

단계 5

$t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$0$ 를 $3 \cdot t$ 에 더합니다.

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

단계 5.1.1.2

$0$ 에서 $1 \cdot t$ 을 뺍니다.

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

단계 5.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$- 1 t$ 을 $- t$ 로 바꿔 씁니다.

$3 t - 2 (- t) = - 3$

단계 5.1.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 t + 2 t = - 3$

단계 5.1.3

$3 t$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$5 t = - 3$

단계 5.2

$5 t = - 3$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$5 t = - 3$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

단계 5.2.2.1.2

$t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t = \frac{- 3}{5}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$t = - \frac{3}{5}$

단계 6

매개변수 방정식을 $t$ 값을 이용하여 $x$ , $y$ , $z$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

괄호를 제거합니다.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

단계 6.1.2

괄호를 제거합니다.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

단계 6.1.3

$0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1.1

$3 (- \frac{3}{5})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.3.1.1.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

단계 6.1.3.1.1.2

$- 3$ 와 $\frac{3}{5}$ 을 묶습니다.

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

단계 6.1.3.1.1.3

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

단계 6.1.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

단계 6.1.3.2

$0$ 에서 $\frac{9}{5}$ 을 뺍니다.

$x = - \frac{9}{5}$

단계 6.2

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

단계 6.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

단계 6.2.3

$0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$- 1 (- \frac{3}{5})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

단계 6.2.3.1.2

$\frac{3}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 0 + \frac{3}{5}$

단계 6.2.3.2

$0$ 를 $\frac{3}{5}$ 에 더합니다.

$y = \frac{3}{5}$

단계 6.3

$z$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

괄호를 제거합니다.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

단계 6.3.2

괄호를 제거합니다.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

단계 6.3.3

$0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$0 (- \frac{3}{5})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

단계 6.3.3.1.2

$0$ 에 $\frac{3}{5}$ 을 곱합니다.

$z = 0 + 0$

단계 6.3.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$z = 0$

단계 6.4

$x$ , $y$ , $z$ 에 대한 매개변수 방정식의 해.

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

단계 7

$x$ , $y$ , $z$ 에 대해 계산된 값을 사용하여 구한 교점은 $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ 입니다.

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

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